- •Глава 1. Основные понятия
- •§1 Операции над комплексными числами
- •§2 Комплексная плоскость
- •§3 Некоторые понятия, относящиеся ко множествам. Кривые на комплексной плоскости.
- •§4 Функции комплексного переменного
- •§5 Функциональные последовательности и ряды
- •§6 Степенные ряды
- •Глава 2. Аналитические функции. Конформные отображения.
- •§1 Аналитические функции
- •§2 Конформные отображения
- •Глава 3. Примеры конформных отображений
- •§1 Дробно линейное отображение
- •§3 Функция
- •§4 Функция Жуковского
- •§7 Таблица некоторых конформных отображений.
- •Глава 4. Теория интеграла
- •§1. Понятие интеграла. Теорема Коши.
- •§2 Интеграл Коши
- •§3 Первообразная.
- •Глава 5. Ряды Тейлора и Лорана
- •§1 Ряд Тейлора аналитической функции
- •§2 Единственность аналитической функции. Принцип максимума модуля.
- •§3 Ряды Лорана
- •§4 Изолированные особые точки однозначных аналитических функций.
- •Глава 6. Элементы теории вычетов и их использование при вычислении интегралов
- •§1 Вычеты
- •§2. Вычисление интегралов
- •§3 Простейшие классы аналитических функций.
- •Глава 7. Преобразование Лапласа.
- •§1 Преобразование Лапласа.
- •§2 Свойства преобразования Лапласа
- •Глава 8. Приложения.
- •§1 Комплексный потенциал
- •§2 Операционное исчисление
Глава 3. Примеры конформных отображений
§1 Дробно линейное отображение
Линейная функция.
Можно представить, как суперпозицию отображений: Взаимнооднозначно и конформно отображает на . Первое из этих отображений представляет собой растяжение в |a| раз, второе - поворот плоскости на угол arg a, третье – сдвиг.
Определение. Окружностью в будем называть обычные окружности, либо прямые.
Такие обобщенные окружности можно описать уравнением
.
Указанные условия на коэффициенты можно получить, если привести уравнение этой кривой к каноническому виду: для случая получим окружность В случае получается прямая
Подставляя , получим эквивалентную форму представления окружности или . Ограничения на коэффициенты будет выглядеть так: , где A и E вещественные, .
Круговое свойство. Линейная функция сохраняет окружности.
Действительно, линейная функция представляет собой суперпозицию трех отображений: растяжение, поворот, сдвиг. Не очевидным является только свойство сохранения окружностей при растяжении. Если в уравнение окружности подставить , то получим: или , выполнение условий на коэффициенты легко проверяется и так далее, т. е. снова получаем уравнение окружности. Свойство сохранять обобщенные окружности называется круговым свойством.
2. Преобразование инверсии.
Определение. Точки z, z* называются симметричными относительно окружности на C, если они лежат на луче, выходящем из центра окружности и произведение расстояний от этих точек до центра равно квадрату радиуса. Из условий следует равенство, связывающее симметричные точки относительно окружности с центром в z0 и радиуса R
или .
Способ построения симметричных точек виден из рисунка.
Рис. 3.1.
pic3_1
Через точку проводится луч из центра окружности . Из точки z восстанавливается перпендикуляр к лучу , из точки пересечения перпендикуляра с окружностью проводится касательная до пересечения с лучом в точке . Симметрия точек и следует из подобия двух прямоугольных треугольников: .
Теорема. Для того, чтобы точки z , z* были симметричны относительно , необходимо и достаточно, чтобы любая обобщенная окружность из , проходящая через эти точки, была ортогональна .
Доказательство. Отметим известное свойство касательных и секущих к окружности:
квадрат касательной равен произведению секущей на ее внешнюю часть.
Рис. 3.2.
Необходимость. Дано: z , z* симметричны относительно . Если - прямая, проходящая через z , z* , то и ортогональны. Пусть - некоторая обычная окружность, проходящая через симметричные точки. Проведем одну из касательных к окружности из точки z0 и обозначим точку касания . Рисунок иллюстрирует это построение.
Рис. 3.3.
Если точки симметричны, то по сформулированному свойству секущей, квадрат касательной будет равен , то есть точка должна лежать на окружности . Следовательно отрезок соединяющий z0 и , с одной стороны будет радиусом к , а с другой стороны касательной к , что означает ортогональность этих окружностей (точка должна быть точкой пересечения и ).
Достаточность. Любая обобщенная окружность , проходящая через z , z* ортогональна . Беря в качестве прямую получим, что точки z, z* лежат на луче, выходящем из центра .
Рис. 3.4.
Проведем какую-нибудь обычную окружность через точки z, z* . Обозначим любую из точек пересечения окружностей через .
Рис. 3.5.
Так как окружности ортогональны, то отрезок будет касательной для и радиусом для . По упомянутому свойству касательной, получим равенство , следовательно, точки симметричны относительно .
Пример: Инверсия области относительно единичной окружности
pic3_6
Доказанная теорема позволяет сформулировать эквивалентное определение симметричных точек для расширенной комплексной плоскости.
Определение. Точки называются симметричными относительно обобщенной окружности на , если любая обобщенная окружность, проходящая через эти точки, ортогональна к .
Если обобщенная окружность является прямой, то симметрия точек относительно этой прямой совпадает с симметрией относительно прямой в обычном смысле.
Определение. Отображение , переводящее точку в симметричную относительно , называется симметрией относительно окружности или инверсией. При этом мы считаем, что центр переходит в , а в центр окружности.
3. Отображение .
Это отображение обладает круговым свойством. Другими словами, образом обычной окружности или прямой может быть только обычная окружность или прямая. Действительно, пусть дана окружность в : , подставим в это уравнение , получим или или , с теми же условиями на коэффициенты и т.д. (условие , при необходимости, можно обеспечить умножением уравнения на -1).
Отображение является конформным на расширенной комплексной плоскости ( легко проверить в 0 и в бесконечности ).
Следствие. Симметрия может быть реализована как суперпозиция пяти отображений: сдвиг: , операция сопряжения: , обратная: , растяжение: , сдвиг: и поэтому сохраняет окружности и антиконформна. Под антиконформностью понимается то, что направление поворота от одной кривой к другой в точке пересечения меняется при отображении на противоположное.
Примеры - иллюстрации:
pic3_7
pic3_8
4. Дробно линейная функция.
Дробно линейным называется отображение . Матрица называется матрицей дробно линейного отображения. Обычно, мы будем предполагать, что эта матрица не вырождена и . Дробно линейной отображение не изменится, если матрицу «пронормировать», т. е. считать, что . Это отображение можно представить в виде суперпозиции простейших отображений: .
Из предыдущих свойств следует, что дробно линейное отображение является конформным на расширенной комплексной плоскости и обладает круговым свойством.
Теорема. Свойство сохранения симметричных точек. Дробно линейное отображение L переводит любые точки , симметричные относительно окружности на , в точки , симметричные относительно образа этой окружности.
Доказательство. Если симметричны относительно , то это означает, что все «окружности» , проходящие через , ортогональны . Так как отображение L сохраняет углы и окружности, то любая окружность, проходящая через , будучи образом некоторой , будет ортогональна , что означает симметрию.
Свойства дробно линейных отображений
Дробно линейная функция взаимнооднозначно и конформно отображает всю расширенную комплексную плоскость z на всю расширенную комплексную плоскость w. Обратное отображение так же дробно линейно.
Взамнооднозначность. Разрешим уравнение относительно . . При этом переходит в , а переходит в . Если матрица отображения нормирована, то нормирована и матрица обратного отображения и они взаимно обратны.
Конформность. Производная во всех конечных точках, если . Для проверки конформности в точке рассматривается функция , производная которой в точке . Для проверки конформности в точке рассматривается функция в точке . Производная в точке .
2) Суперпозиция двух дробно линейных отображений есть дробно линейное отображение.
Матрицы этих отображений при суперпозиции перемножаются: если
, тогда
. Проверяется непосредственно.
3) Круговое свойство и сохранение симметрии. Произвольное дробно линейное отображение L обладает круговым свойством и переводит любые точки , симметричные относительно какой-нибудь окружности на , в точки , симметричные относительно образа этой окружности.
4) Каковы бы ни были три различные точки и три различные точки , существует единственное дробно линейное отображение L такое, что
Доказательство. Рассмотрим отображение , переводящее точки в ,
. Аналогично, отображение
, будет переводить Тогда отображение будет искомым :
Рис. 3.8
Для доказательства единственности, докажем лемму.
Лемма. Если дробно линейное отображение переводит точки 00, , то оно тождественное.
Доказательство. Пусть Из , ( при этом можно считать, что a=1 ) таким образом, отображение должно иметь вид
Докажем единственность. Предположим, что ещё одна дробно линейная функция w=f(z) обладает этим свойством. Тогда оставляет на месте 0,,1. Такое отображение является тождественным , откуда следует, что .
5) Непосредственной проверкой можно убедиться, что
.
Пример. Найти образы обобщенных окружностей , вещественная и мнимая оси при отображении .
Рис. 3.9.
Замечание. Обобщенная окружность является прямой только тогда, когда она проходит через точку , в противном случае она является обычной окружностью.
В отображается точка , которая принадлежит “окружности” . Это значит, что только является прямой, а будут обычными окружностями. Для того, чтобы нарисовать прямую возьмем любые две симметричные относительно “окружности” точки , например, -1, 1. Эти точки перейдут в симметричные точки относительно . Подставляя значения -1, 1 в найдем образы этих точек .
Рис. 3.10.
Рисуем прямую , для которой эти точки являются симметричными
Рис. 3.11.
Для изображения окружностей нужно найти их центры и точки, через которые они будут проходить. Для нахождения центра окружности найдем точку симметричную .
Рис. 3.12.
Центром окружности будет точка . Так как все три кривые пересекаются в 0, а 0 переходит в -1, то будет окружностью радиуса 1.
Рис. 3.13.
Тоже самое для окружности . Находим, кто симметричен прообразу .
Рис. 3.14.
Точку , симметричную относительно окружности находим из соотношения инверсии.
Рис. 3.15.
§2 Степенная функция w=zn, n – натуральное.
1.Отображение степенной функцией.
. Область однолистности: для того, чтобы условие однолистности нарушалось в области D, в этой области должна существовать пара различных точек , для которых образы совпадают: . В этом случае и .
Поэтому, если в какой-либо области для различный точек будет выполнено соотношение , то однолистность нарушаться не будет. В частности, каждую из областей функция w=zn отображает однолистно на плоскость С вырезом по положительной части действительной оси.
Пример: . Выбрана область
|
|
Рис. 3.16.
pic3_16
2.Обратная функция.
Определение. Функция f(z) называется однозначной ветвью на множестве D многозначной функции F(z), определённой на D, если f(z) однозначная, непрерывная функция, совпадающая с одним из значений F(z) в каждой точке zD.
Пример: Обратная функция многозначна ( n различных корней, если w0 )
. Рассмотрим n экземпляров плоскости Cw с разрезом по положительной части вещественной оси, будем их обозначать D*k , k =0,1,…, n – 1. Определим одну из возможных ветвей. Зафиксируем некоторую точку wkD*k и для её образа выбираем значение
.
Значение ветви gk(w) в любой точке будем определять следующим образом: положим
, где получен из непрерывным изменением вдоль какой-либо кривой, соединяющей w и wk . Можно показать, что конечное значение не будет зависеть от конфигурации пути, поэтому определение корректно.
|
|
Рис. 3.17.
pic3_17
В данном случае (удачный выбор областей ) можно было бы не прибегать к услугам кривой , а считать выражение за определение k-ой ветви. Таким образом, можно выделить n однозначных ветвей для функции . Обозначают эти ветви . Ветвь, соответствующая k, есть конформное отображение области D*k на область
.
Замечание. При отображении , в плоскости w при полном обходе вокруг начала координат arg w получает приращение 2 и мы приходим к другому значению z в плоскости .
Рис. 3.18.
pic3_18
Такие точки (в данном случае, начало координат) называются точками ветвления, точное определение точки ветвления будет дано в следующем пункте. Для степенной функции, кроме 0, точкой ветвления является .
3. Понятие римановой поверхности для функции
Два листа плоскости w склеены, как показано на рисунке. При обходе точкой w по по верхнему листу образ z пройдет полоборота по кривой 0 в верхней полуплоскости D0 плоскости z. Продолжаем движение, переходим в месте склейки с верхнего листа на нижний лист на кривую в плоскости w. Далее образ z будет двигаться по 1 в нижней полуплоскости D1 плоскости z и полностью завершит оборот, когда точка w вернется на верхний лист по кривой . Поверхность взаимнооднозначно отображается на всю плоскость Cz . Эта поверхность называется поверхностью Римана.
Рис. 3.19.
Рис. 3.20.
Определение. Если в любой достаточно малой окрестности точки существует замкнутая Жорданова кривая ( можно считать окружностью с центром a), содержащая внутри точку a такая, что при обходе , начиная с точки (и непрерывном изменении модуля и аргумента) значение ветви многозначной функции F(z) переходит в значение другой ветви , то точка a называется точкой ветвления.
Пример. Поверхность Римана для .
Рис. 3.21.
Рис. 3.22.