- •2. Понятие оду. Задача Коши, граничная задача.
- •3. Общая характеристика методов решения оду.
- •4. Постановка задачи Коши. Классификация численных методов её решения.
- •5. Схема Эйлера для решения задачи Коши. Графический способ построения. Св-ва и погрешность м-да.
- •6. Построение схемы Эйлера способом разложения в ряд Тейлора. Оценка точности метода.
- •7. Построение схемы Эйлера для решения задачи Коши разностным методом. Характеристика схемы.
- •8. Усовершенствованный метод Эйлера для решения задачи Коши. Свойства и погрешность метода.
- •9. Схема Эйлера-Коши для задачи Коши. Контроль точности решения.
- •10. Сходимость и порядок аппроксимации метода Эйлера.
- •11. Семейство методов Рунге-Кутта решения задачи Коши. Примеры методов Рунге-Кутта. (1 и 2 порядка точности).
- •12. Методы Рунге-Кутта 3 и 4 порядков точности. Выбор шага сетки. Оценка погрешности методов рунге-Кутта.
- •13. Методы Рунге-Кутта. Примеры схем различного порядка точности. Достоинства и недостатки этих методов.
- •14. Многошаговые методов решения задачи Коши. Интерполяционная и экстраполяционная схемы.
- •15. Многошаговые методы решения задач Коши. Явная схема Адамса.
- •16. Использование интерполяционных и квадратурных формул для построении многошаговых схем Адамса решения оду.
- •17. Практическая реализация явной и неявной схем Адамса.
- •18. Многошаговые методы решения задачи Коши. Неявная схема Адамса.
- •19. Сравнительная характеристика методов Адамса.
- •20. Повышение точности результатов при решении задачи Коши. Правило Рунге.
- •21. Численные метод решения систем оду. Схема Эйлера.
- •22. Численные метод решения систем оду. Схемы рунге-Кутта.
- •23. Жёсткие системы ду.
- •24. Численное дифференцирование конечными разностями. Оценка погрешности метода. Источники погрешностей.
- •25. Постановка двухточечной граничной задачи и классификация методов её решения.
- •26. Методы решения граничных задач для оду. Общая характеристика.
- •27. Метод редукции для решения краевых задач.
- •28. Применение метода редукции для решения краевой задачи на основе оду-2.
- •29. Решение краевой задачи методом стрельбы. Геометрическая интерпретация.
- •30. Метод стрельбы для решения краевой задачи на основе оду-2
- •31. Решение линейных и нелинейных краевых задач методом сеток.
- •32. Метод сеток для решения краевой задачи на основе оду-2
- •33. Метод прогонки для решения краевых задач второго порядка
- •34. Вариационно-проекционные методы решения краевых задач.
- •35. Метод коллокаций решения граничных задач.
- •36. Метод Галёркина для решения граничных задач на основе линейного ду.
- •37. Методы коллокаций и Галёркина для решения граничных задач на основе нелинейного ду.
- •40. Сравнительные характеристики методов решения граничных задач.
- •43. Приближённое вычисление интегралов.
- •43. Формула трапеций
- •44. Формулы Симпсона. Оценка погрешности.
- •45. Интегральные уравнения. Постановка задачи. Виды линейных интегральных уравнений.
- •Виды интегральных уравнений и соответствующие им задачи
- •46. Метод последовательных приближений для решения интегрального уравнения Фредгольма II рода.
- •47. Метод механических квадратур для решения интегрального уравнения Фредгольма II рода.
- •48. Метод последовательных приближений для решения интегрального уравнения Вольтера II рода.
- •49. Метод механических квадратур для решения интегрального уравнения Вольтера II рода.
- •50. Решение интегральных уравнений. Метод замены ядра на вырожденное.
26. Методы решения граничных задач для оду. Общая характеристика.
Методы решения краевых задач подразделяются на точные (аналитические), приближенные и численные.
Аналитические методы изучаются в курсе дифференциальных уравнений и применимы для достаточно узкого класса задач. В частности хорошо развиты аналитические методы для решения линейных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами.
Приближенные методы поиска решения граничных задач разрабатывались задолго до появления вычислительных машин. Суть их состоит в том, что для отыскания решения краевой задачи выбирается некоторая линейно независимая система дифференцируемых функций . Причем, как правило, функция удовлетворяет граничным условиям. Искомое решение строят в виде линейной комбинации функций . (7)
или развернуто (8)
Подставляя решение (8) в исходное уравнение мы получим невязку, т.е. разность между левой и правой частями уравнения. Невязка является функцией переменной x и параметров и для уравнения (4) выражается следующим образом
(9)
Коэффициенты подбираются таким образом, чтобы значение невязки было минимальным. Способ вычисления этих коэффициентов и определяет тот или иной приближенный метод.
В методе коллокаций выбирают n точек , которые называют точками коллокаций. Невязка (9) в точках коллокации приравнивается к нулю.
(10)
Таким образом получаем систему n линейных алгебраических уравнений, решение которой даст конкретные значения коэффициентам .
Метод наименьших квадратов основан на минимизации суммы квадратов невязок в заданной системе точек . Запись этого условия также даст систему n линейных алгебраических уравнений для определения значений коэффициентов .
В основу метода Галеркина положено требование ортогональности системы базисных функций и невязки . Это требование выражается в виде определенного интеграла по отрезку [a,b] и приводит в конечном итоге к построению системы из n линейных алгебраических уравнений. Решая построенную систему, определим значения параметров и затем получим конкретное выражение приближенного решения (7).
Аналогичным образом строятся другие приближенные методы. Все они сводятся к формированию системы из n линейных алгебраических уравнений.
Численные методы можно условно разделить на две группы: методы сведения решения краевой задачи к последовательности решений задач Коши и непосредственное применение разностных методов. Среди методов первой группы различают
Метод вариации постоянных (метод редукции)
Метод стрельбы
Метод дифференциальной прогонки.
27. Метод редукции для решения краевых задач.
Пусть на отрезке [a,b] задано линейное обыкновенное дифференциальное уравнение n-го порядка с непрерывными коэффициентами и функцией правой части f(x) (1)
Или в развернутом виде (2)
При этом .
Кроме этого на отрезке заданы граничные условия вида
(3)
Требуется найти решение поставленной краевой задачи (2)-(3) на отрезке [a,b] методом редукции. Суть этого метода состоит в том, чтобы поиск решения свести к решению задач Коши.
Из курса дифференциальных уравнений известно, что искомое решение задачи (2)- (3) можно представить в виде линейной комбинации (4)
Где Y0 – является частным решением неоднородного дифференциального уравнения (2), а Yi ,i=1,2,…,n– линейно независимые решения однородного дифференциального уравнения
, - произвольные константы. Для определения этих констант используют краевые условия (3), в которые подставляют решение в виде (4).
Предположим, что функции Yi ,i=0,1,2,…,n уже известны, и потребуем, чтобы для решения (4) выполнялись краевые условия (3). Таким образом, имеем систему n уравнений с неизвестными . Если построенная система имеет единственное решение, то решение приближенное задачи (2)-(3) будет найдено по формуле (4) единственным образом.
Чтобы найти функции Yi ,i=0,1,2,…,n чаще всего поступают следующим образом. Функцию Y0 определяют по неоднородному уравнению (1) с нулевыми начальными условиями . (5)
Функции Yi ,i=1,2,…,n находят как решение однородного уравнения (6)
с такими начальными условиями k=0,1,…,n-1 (7)
Таким образом, метод редукции к задачам Коши состоит из следующих этапов.
На отрезке поиска решения [a,b] любым известным методом находим численные решения Yi ,i=0,1,2,…,n
Используя общий вид решения (4) и краевые условия (3), определяем коэффициенты .
Вычисляем по формуле (4) искомое решение задачи (2)-(3)
Необходимо отметить, что метод редукции применим только для решения граничных задач на основе линейных дифференциальных уравнений. Однако при реализации метода редукции иногда возникает потеря точности. Это происходит в тех случаях, когда функции решения однородного уравнения Yi ,i=1,2,…,n являются быстрорастущими функциями, а само решение исходной задачи y(x)u(x) таковым не является. Большие вычислительные погрешности возникают из-за линейного комбинирования быстрорастущих функций.