- •2. Понятие оду. Задача Коши, граничная задача.
- •3. Общая характеристика методов решения оду.
- •4. Постановка задачи Коши. Классификация численных методов её решения.
- •5. Схема Эйлера для решения задачи Коши. Графический способ построения. Св-ва и погрешность м-да.
- •6. Построение схемы Эйлера способом разложения в ряд Тейлора. Оценка точности метода.
- •7. Построение схемы Эйлера для решения задачи Коши разностным методом. Характеристика схемы.
- •8. Усовершенствованный метод Эйлера для решения задачи Коши. Свойства и погрешность метода.
- •9. Схема Эйлера-Коши для задачи Коши. Контроль точности решения.
- •10. Сходимость и порядок аппроксимации метода Эйлера.
- •11. Семейство методов Рунге-Кутта решения задачи Коши. Примеры методов Рунге-Кутта. (1 и 2 порядка точности).
- •12. Методы Рунге-Кутта 3 и 4 порядков точности. Выбор шага сетки. Оценка погрешности методов рунге-Кутта.
- •13. Методы Рунге-Кутта. Примеры схем различного порядка точности. Достоинства и недостатки этих методов.
- •14. Многошаговые методов решения задачи Коши. Интерполяционная и экстраполяционная схемы.
- •15. Многошаговые методы решения задач Коши. Явная схема Адамса.
- •16. Использование интерполяционных и квадратурных формул для построении многошаговых схем Адамса решения оду.
- •17. Практическая реализация явной и неявной схем Адамса.
- •18. Многошаговые методы решения задачи Коши. Неявная схема Адамса.
- •19. Сравнительная характеристика методов Адамса.
- •20. Повышение точности результатов при решении задачи Коши. Правило Рунге.
- •21. Численные метод решения систем оду. Схема Эйлера.
- •22. Численные метод решения систем оду. Схемы рунге-Кутта.
- •23. Жёсткие системы ду.
- •24. Численное дифференцирование конечными разностями. Оценка погрешности метода. Источники погрешностей.
- •25. Постановка двухточечной граничной задачи и классификация методов её решения.
- •26. Методы решения граничных задач для оду. Общая характеристика.
- •27. Метод редукции для решения краевых задач.
- •28. Применение метода редукции для решения краевой задачи на основе оду-2.
- •29. Решение краевой задачи методом стрельбы. Геометрическая интерпретация.
- •30. Метод стрельбы для решения краевой задачи на основе оду-2
- •31. Решение линейных и нелинейных краевых задач методом сеток.
- •32. Метод сеток для решения краевой задачи на основе оду-2
- •33. Метод прогонки для решения краевых задач второго порядка
- •34. Вариационно-проекционные методы решения краевых задач.
- •35. Метод коллокаций решения граничных задач.
- •36. Метод Галёркина для решения граничных задач на основе линейного ду.
- •37. Методы коллокаций и Галёркина для решения граничных задач на основе нелинейного ду.
- •40. Сравнительные характеристики методов решения граничных задач.
- •43. Приближённое вычисление интегралов.
- •43. Формула трапеций
- •44. Формулы Симпсона. Оценка погрешности.
- •45. Интегральные уравнения. Постановка задачи. Виды линейных интегральных уравнений.
- •Виды интегральных уравнений и соответствующие им задачи
- •46. Метод последовательных приближений для решения интегрального уравнения Фредгольма II рода.
- •47. Метод механических квадратур для решения интегрального уравнения Фредгольма II рода.
- •48. Метод последовательных приближений для решения интегрального уравнения Вольтера II рода.
- •49. Метод механических квадратур для решения интегрального уравнения Вольтера II рода.
- •50. Решение интегральных уравнений. Метод замены ядра на вырожденное.
5. Схема Эйлера для решения задачи Коши. Графический способ построения. Св-ва и погрешность м-да.
Пусть задана задача Коши
, (1)
u(a)=u0, (2)
где f(x,u(x)) – заданная непрерывная функция двух аргументов. Требуется найти функцию u=u(x), непрерывную на отрезке , удовлетворяющую уравнению (1) и начальному условию (2).
Простейшим численным методом решения задачи (1)-(2) , т.е задачи Коши для обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка, является метод Эйлера. Рассмотрим создание разрешающего уравнения этого метода на основе графических построений.
Разделим отрезок [a,b] на n равных частей. Решением исходной задачи является интегральная кривая под номером 0, которая проходит через точку . Вместо искомой интегральной кривой на отрезке будем рассматривать отрезок касательной к этой интегральной кривой в точке . Построим уравнение этого отрезка касательной
(3)
Точку с координатами обозначим как . Эта точка принадлежит интегральной кривой с номером 1 Заменим интегральную кривую с номером 1 на отрезке отрезком касательной к этой интегральной кривой в точке .
(4)
номером
2.
Поступаем аналогичным образом на каждом частичном отрезке. Для отрезка будем иметь уравнение отрезка касательной в следующем виде
(5)
Формула (5) представляет собой метод Эйлера для всех и с учетом, что для начальной точки выполняется
(6)
Точным решением задачи (1)-(2) является интегральная кривая под номером 0, которая проходит через точку . Методом Эйлера мы заменяем ее ломаной с вершинами в точках . При этом каждое звено ломаной совпадает по направлению с интегральной кривой, проходящей через точки . Таким образом методом Эйлера происходит движение не по интегральной кривой, а по касательной к ней, поэтому метод Эйлера называют иначе методом ломаных. Погрешность метода Эйлера возникает из-за того, что на каждом шаге решение переходит на другую интегральную кривую из семейства решений уравнения (1). Для некоторых дифференциальных уравнений это обстоятельство может привести к большим ошибкам, т.е. решение окажется неустойчивым.
Метод Эйлера может быть построен, исходя из понятий теории разностных схем. Введем на отрезке равномерную сетку и соответствующую ей сеточную функцию для аппроксимации искомого решения . Для аппроксимации производной используем правую разностную схему, т.е. . Заменим исходное дифференциальное уравнение (1) следующей разностной схемой
(7)
И добавим начальное условие
(8)
Решение уравнения (7) можно выразить явным образом через предыдущие значения, т.е.
(9)
Распространим уравнение (9) на всю сетку и добавим начальное условие
(10)
Построенный таким образом метод Эйлера является одношаговым.
Метод Эйлера также можно построить, используя разложение функции u(x) в ряд Тейлора в окрестности узла . В этом ряду отбрасываются все члены, содержащие производные второго и более высоких порядков. (см. Турчак стр.215)
Т.к. получаем .
Метод Эйлера обладает малой точностью, т.е имеет первый порядок точности. Погрешность каждого нового шага вообще говоря систематически возрастает. Теоретически для оценки погрешности метода Эйлера имеет место неравенство
(11)
Здесь М1,М2,М3 - верхние границы для функции и ее частных производных. Однако для практики наиболее приемлемым способом оценки погрешности решения является метод двойного пересчета с шагами h и h/2. Совпадающие десятичные знаки решения в соответствующих узлах при различных пересчетах считаются верными.