- •2. Понятие оду. Задача Коши, граничная задача.
- •3. Общая характеристика методов решения оду.
- •4. Постановка задачи Коши. Классификация численных методов её решения.
- •5. Схема Эйлера для решения задачи Коши. Графический способ построения. Св-ва и погрешность м-да.
- •6. Построение схемы Эйлера способом разложения в ряд Тейлора. Оценка точности метода.
- •7. Построение схемы Эйлера для решения задачи Коши разностным методом. Характеристика схемы.
- •8. Усовершенствованный метод Эйлера для решения задачи Коши. Свойства и погрешность метода.
- •9. Схема Эйлера-Коши для задачи Коши. Контроль точности решения.
- •10. Сходимость и порядок аппроксимации метода Эйлера.
- •11. Семейство методов Рунге-Кутта решения задачи Коши. Примеры методов Рунге-Кутта. (1 и 2 порядка точности).
- •12. Методы Рунге-Кутта 3 и 4 порядков точности. Выбор шага сетки. Оценка погрешности методов рунге-Кутта.
- •13. Методы Рунге-Кутта. Примеры схем различного порядка точности. Достоинства и недостатки этих методов.
- •14. Многошаговые методов решения задачи Коши. Интерполяционная и экстраполяционная схемы.
- •15. Многошаговые методы решения задач Коши. Явная схема Адамса.
- •16. Использование интерполяционных и квадратурных формул для построении многошаговых схем Адамса решения оду.
- •17. Практическая реализация явной и неявной схем Адамса.
- •18. Многошаговые методы решения задачи Коши. Неявная схема Адамса.
- •19. Сравнительная характеристика методов Адамса.
- •20. Повышение точности результатов при решении задачи Коши. Правило Рунге.
- •21. Численные метод решения систем оду. Схема Эйлера.
- •22. Численные метод решения систем оду. Схемы рунге-Кутта.
- •23. Жёсткие системы ду.
- •24. Численное дифференцирование конечными разностями. Оценка погрешности метода. Источники погрешностей.
- •25. Постановка двухточечной граничной задачи и классификация методов её решения.
- •26. Методы решения граничных задач для оду. Общая характеристика.
- •27. Метод редукции для решения краевых задач.
- •28. Применение метода редукции для решения краевой задачи на основе оду-2.
- •29. Решение краевой задачи методом стрельбы. Геометрическая интерпретация.
- •30. Метод стрельбы для решения краевой задачи на основе оду-2
- •31. Решение линейных и нелинейных краевых задач методом сеток.
- •32. Метод сеток для решения краевой задачи на основе оду-2
- •33. Метод прогонки для решения краевых задач второго порядка
- •34. Вариационно-проекционные методы решения краевых задач.
- •35. Метод коллокаций решения граничных задач.
- •36. Метод Галёркина для решения граничных задач на основе линейного ду.
- •37. Методы коллокаций и Галёркина для решения граничных задач на основе нелинейного ду.
- •40. Сравнительные характеристики методов решения граничных задач.
- •43. Приближённое вычисление интегралов.
- •43. Формула трапеций
- •44. Формулы Симпсона. Оценка погрешности.
- •45. Интегральные уравнения. Постановка задачи. Виды линейных интегральных уравнений.
- •Виды интегральных уравнений и соответствующие им задачи
- •46. Метод последовательных приближений для решения интегрального уравнения Фредгольма II рода.
- •47. Метод механических квадратур для решения интегрального уравнения Фредгольма II рода.
- •48. Метод последовательных приближений для решения интегрального уравнения Вольтера II рода.
- •49. Метод механических квадратур для решения интегрального уравнения Вольтера II рода.
- •50. Решение интегральных уравнений. Метод замены ядра на вырожденное.
15. Многошаговые методы решения задач Коши. Явная схема Адамса.
В одношаговых методах поиск значения зависит только от информации в предыдущем узле . Можно добиться большей точности, если использовать информацию о значении ф-ции в нескольких предыдущих узлах, т.е . Так поступают в методах, называемых многошаговыми. Имеем задачу Коши для ОДУ первого порядка ------- (1) -------- (2)
Будем решать задачу (1)-(2) конечноразностными многошаговыми методами. Для этого введем равномерную сетку с постоянным шагом h>0. Введем сеточную функцию и функцию правой части .
Линейным k-шаговым разностным методом называется система разностных уравнений
(3)
числовые коэффициенты, не зависящие от номера узла i, параметр m=0,1,2,…,k, причем .
Из этого уравнения (3) мы можем выразить значение сеточной функции решения через ранее найденные значения. Расчет начинается с узла с номером k (i=k), т.е. c уравнения
(4)
Следовательно, для начала расчетов необходимо знать k значений сеточной функции в узлах . Значение определяется исходной задачей Коши – условием (2), т.е . Значения можно вычислить любым одношаговым методом, например методом Рунге-Кутта нужного порядка точности. Поэтому в дальнейшем можно полагать, что все необходимые значения известны.
Из уравнения (3) видно, что в отличие от методов Рунге-Кутта многошаговые разностные методы допускают вычисления правых частей только в узлах основной сетки . В практике наибольшее распространение получили многошаговые методы Адамса, которые являются частным случаем многошаговых методов. В методах Адамса первая производная искомой функции u(x) задачи Коши аппроксимируется только по двум узлам .
Т.к. в методах Адамса аппроксимация проводится только по двум точкам, то это означает, что коэффициенты левой части принимают значения . Следовательно, методы Адамса можно записать следующим образом
(1)
Если получаем явные (экстраполяционные) методы Адамса, если , методы будут называться неявными (интерполяционными) методами Адамса. В зависимости от количества k предыдущих узлов, методы называются k –шаговыми. Например трех, четырёхшаговые методы Адамса.
Чтобы получить порядок аппроксимации конкретной многошаговой схемы, в том числе схемы Адамса, необходимо исследовать невязку (погрешность аппроксимации ) этой схемы.
(2)
Эта функция получается как результат подстановки точного решения задачи Коши в разностное уравнение вида (3) из предыдущего пункта. Чтобы метод имел требуемый порядок аппроксимации, необходимо чтобы выполнялись условия согласованности многошагового метода, т.е условия, накладываемые на коэффициенты схемы . (см.Сам.Ч.М. стр.233).
Для методов Адамса доказывается, что наивысший порядок аппроксимации k-шагового неявного метода Адамса равен k+1, а наивысший порядок аппроксимации k-шагового явного ( ) метода Адамса равен k.
В практических расчетах чаще всего используется вариант явного метода Адамса, имеющий 4 порядок точности и использующий на каждом шаге значения сеточных функций в четырех предыдущих узлах.
На основе методов Адамса разработан целый ряд весьма сложных алгоритмов и программ для математических пакетов. В этих программах методы Адамса реализованы таким образом, что имеется возможность изменять не только величину шага сетки, но и порядок самого метода. В настоящее время существуют программы, максимальный порядок точности которых достигает 13.