- •2. Понятие оду. Задача Коши, граничная задача.
- •3. Общая характеристика методов решения оду.
- •4. Постановка задачи Коши. Классификация численных методов её решения.
- •5. Схема Эйлера для решения задачи Коши. Графический способ построения. Св-ва и погрешность м-да.
- •6. Построение схемы Эйлера способом разложения в ряд Тейлора. Оценка точности метода.
- •7. Построение схемы Эйлера для решения задачи Коши разностным методом. Характеристика схемы.
- •8. Усовершенствованный метод Эйлера для решения задачи Коши. Свойства и погрешность метода.
- •9. Схема Эйлера-Коши для задачи Коши. Контроль точности решения.
- •10. Сходимость и порядок аппроксимации метода Эйлера.
- •11. Семейство методов Рунге-Кутта решения задачи Коши. Примеры методов Рунге-Кутта. (1 и 2 порядка точности).
- •12. Методы Рунге-Кутта 3 и 4 порядков точности. Выбор шага сетки. Оценка погрешности методов рунге-Кутта.
- •13. Методы Рунге-Кутта. Примеры схем различного порядка точности. Достоинства и недостатки этих методов.
- •14. Многошаговые методов решения задачи Коши. Интерполяционная и экстраполяционная схемы.
- •15. Многошаговые методы решения задач Коши. Явная схема Адамса.
- •16. Использование интерполяционных и квадратурных формул для построении многошаговых схем Адамса решения оду.
- •17. Практическая реализация явной и неявной схем Адамса.
- •18. Многошаговые методы решения задачи Коши. Неявная схема Адамса.
- •19. Сравнительная характеристика методов Адамса.
- •20. Повышение точности результатов при решении задачи Коши. Правило Рунге.
- •21. Численные метод решения систем оду. Схема Эйлера.
- •22. Численные метод решения систем оду. Схемы рунге-Кутта.
- •23. Жёсткие системы ду.
- •24. Численное дифференцирование конечными разностями. Оценка погрешности метода. Источники погрешностей.
- •25. Постановка двухточечной граничной задачи и классификация методов её решения.
- •26. Методы решения граничных задач для оду. Общая характеристика.
- •27. Метод редукции для решения краевых задач.
- •28. Применение метода редукции для решения краевой задачи на основе оду-2.
- •29. Решение краевой задачи методом стрельбы. Геометрическая интерпретация.
- •30. Метод стрельбы для решения краевой задачи на основе оду-2
- •31. Решение линейных и нелинейных краевых задач методом сеток.
- •32. Метод сеток для решения краевой задачи на основе оду-2
- •33. Метод прогонки для решения краевых задач второго порядка
- •34. Вариационно-проекционные методы решения краевых задач.
- •35. Метод коллокаций решения граничных задач.
- •36. Метод Галёркина для решения граничных задач на основе линейного ду.
- •37. Методы коллокаций и Галёркина для решения граничных задач на основе нелинейного ду.
- •40. Сравнительные характеристики методов решения граничных задач.
- •43. Приближённое вычисление интегралов.
- •43. Формула трапеций
- •44. Формулы Симпсона. Оценка погрешности.
- •45. Интегральные уравнения. Постановка задачи. Виды линейных интегральных уравнений.
- •Виды интегральных уравнений и соответствующие им задачи
- •46. Метод последовательных приближений для решения интегрального уравнения Фредгольма II рода.
- •47. Метод механических квадратур для решения интегрального уравнения Фредгольма II рода.
- •48. Метод последовательных приближений для решения интегрального уравнения Вольтера II рода.
- •49. Метод механических квадратур для решения интегрального уравнения Вольтера II рода.
- •50. Решение интегральных уравнений. Метод замены ядра на вырожденное.
28. Применение метода редукции для решения краевой задачи на основе оду-2.
Рассмотрим метод редукции для двухточечной краевой задачи на основе ОДУ второго порядка.
(8)
(9)
(10)
где p(x),q(x),f(x) – известные функции, определенные на отрезке поиска решения, а параметры имеют конкретное числовое значение, причем выполняется условие .
Ищем общее решение в виде
(11)
Далее необходимо решить три задачи Коши
(12)
(13)
(14)
Решив эти системы (12)-(14) численным методом, получим в узлах выбранной сетки, в том числе на правом конце отрезка, значения функций Y0,Y1,Y2. Подставим эти найденные значения в краевые условия
(15)
Учтем из (12)-(14), что
Y0(a)=0, , Y1(a)=1, , Y2(a)=0, и получаем систему
(16)
Из системы (16) найдем значения коэффициентов c1, c2 и подставим их в соотношение (11), на основание которого можем найти искомое решение в любой точке отрезка поиска решения.
29. Решение краевой задачи методом стрельбы. Геометрическая интерпретация.
Суть этого метода заключается в сведении решения краевой задачи к многократному решению задач Коши. Принцип построения метода стрельбы рассмотрим, упростив задачу (1)-(3). Будем предполагать, что отрезок поиска решения задачи [0,1]. Известно, что любой отрезок [a,b] можно заменить отрезком [0,1], путем ввода замены переменной вида (4) Граничные условия на концах рассматриваемого отрезка также примем в простейшем виде, т.е. u(0)y(0)=Y0 , u(1) y(1)=Y1 (5)
П онизим порядок уравнения (1) и запишем его в виде задачи Коши с начальными условиями (6) Y0 - это точка на оси ординат, в которую помещается начало искомой интегральной кривой, - угол наклона касательной к интегральной кривой в этой точке. Угол наклона в процессе многократного решения краевой задачи должен принять такое значение, чтобы интегральная кривая «попала в цель», т.е. в точку (1,Y1).
Считаем решение задачи Коши (6) зависящим от параметра . Будем искать такую интегральную кривую , которая выходит из точки (0,Y0) и попадает в точку (1,Y1). Т.о. если =*, то решение задачи Коши (6) y(x) совпадает с решением u(x) y(x) краевой задачи (1),(5). Тогда, если x=1, то учитывая второе граничное условие (5), получаем y(1, )=Y1 или y(1, ) - Y1=0 (7)
Следовательно, получили уравнение вида F()=0, где F()=y(1, )-Y1. Особенность этого уравнения заключается в том, что функцию F() нельзя представить в виде некоторого аналитического выражения, т.к. она является результатом численного решения (т.е. таблицей чисел) задачи Коши (1),(5). Тем не менее, для решения уравнения (7) можно использовать любой известный метод численного решения нелинейных уравнений. Например, метод деления отрезка пополам, метод секущих. В этом случае берем сначала отрезок [0, 1], содержащий *. К примеру, 0=0, 1=/2. На концах [0, 1] функция F() должна принимать значения разных знаков. Для этого решение задачи Коши y=y(x, 0) должно при x=1 располагаться ниже точки (1,Y1), т.е Y1y=y(1, 0), а y(1, 1) Y1– выше. Далее, полагая 2=(0+1)/2, снова решаем задачу Коши при =2 и в соответствии с методом деления отрезка пополам отбрасываем один из отрезков [0, 2] или [2, 1], на котором функция F() не меняет знак и т.д. Процесс поиска решения исходной задачи прекращается, если разность двух последовательно найденных значений меньше заранее заданной точности . В этом случае последнее решение задачи Коши принимается за искомое решение исходной краевой задачи. При использовании метода секущих выбираем два начальных приближения и последующие значения находим по формуле Вычисления продолжают до тех пор, пока не выполнится условие , где - заранее заданная точность.
Описанный алгоритм называется методом стрельбы, т.к. в нем как бы проводится «пристрелка» по углу наклона касательной к интегральной кривой в начальной точке. Точность решения краевой задачи зависит не только от точности определения параметра , но также от точности решения соответствующей задачи Коши. Поэтому одновременно с уточнением параметра рекомендуется уменьшать шаг при решении задачи Коши, либо выбрать более точный метод. Алгоритм стрельбы хорошо работает в том случае, если решение не слишком чувствительно к изменениям параметра , иначе алгоритм может оказаться неустойчивым.