- •2. Понятие оду. Задача Коши, граничная задача.
- •3. Общая характеристика методов решения оду.
- •4. Постановка задачи Коши. Классификация численных методов её решения.
- •5. Схема Эйлера для решения задачи Коши. Графический способ построения. Св-ва и погрешность м-да.
- •6. Построение схемы Эйлера способом разложения в ряд Тейлора. Оценка точности метода.
- •7. Построение схемы Эйлера для решения задачи Коши разностным методом. Характеристика схемы.
- •8. Усовершенствованный метод Эйлера для решения задачи Коши. Свойства и погрешность метода.
- •9. Схема Эйлера-Коши для задачи Коши. Контроль точности решения.
- •10. Сходимость и порядок аппроксимации метода Эйлера.
- •11. Семейство методов Рунге-Кутта решения задачи Коши. Примеры методов Рунге-Кутта. (1 и 2 порядка точности).
- •12. Методы Рунге-Кутта 3 и 4 порядков точности. Выбор шага сетки. Оценка погрешности методов рунге-Кутта.
- •13. Методы Рунге-Кутта. Примеры схем различного порядка точности. Достоинства и недостатки этих методов.
- •14. Многошаговые методов решения задачи Коши. Интерполяционная и экстраполяционная схемы.
- •15. Многошаговые методы решения задач Коши. Явная схема Адамса.
- •16. Использование интерполяционных и квадратурных формул для построении многошаговых схем Адамса решения оду.
- •17. Практическая реализация явной и неявной схем Адамса.
- •18. Многошаговые методы решения задачи Коши. Неявная схема Адамса.
- •19. Сравнительная характеристика методов Адамса.
- •20. Повышение точности результатов при решении задачи Коши. Правило Рунге.
- •21. Численные метод решения систем оду. Схема Эйлера.
- •22. Численные метод решения систем оду. Схемы рунге-Кутта.
- •23. Жёсткие системы ду.
- •24. Численное дифференцирование конечными разностями. Оценка погрешности метода. Источники погрешностей.
- •25. Постановка двухточечной граничной задачи и классификация методов её решения.
- •26. Методы решения граничных задач для оду. Общая характеристика.
- •27. Метод редукции для решения краевых задач.
- •28. Применение метода редукции для решения краевой задачи на основе оду-2.
- •29. Решение краевой задачи методом стрельбы. Геометрическая интерпретация.
- •30. Метод стрельбы для решения краевой задачи на основе оду-2
- •31. Решение линейных и нелинейных краевых задач методом сеток.
- •32. Метод сеток для решения краевой задачи на основе оду-2
- •33. Метод прогонки для решения краевых задач второго порядка
- •34. Вариационно-проекционные методы решения краевых задач.
- •35. Метод коллокаций решения граничных задач.
- •36. Метод Галёркина для решения граничных задач на основе линейного ду.
- •37. Методы коллокаций и Галёркина для решения граничных задач на основе нелинейного ду.
- •40. Сравнительные характеристики методов решения граничных задач.
- •43. Приближённое вычисление интегралов.
- •43. Формула трапеций
- •44. Формулы Симпсона. Оценка погрешности.
- •45. Интегральные уравнения. Постановка задачи. Виды линейных интегральных уравнений.
- •Виды интегральных уравнений и соответствующие им задачи
- •46. Метод последовательных приближений для решения интегрального уравнения Фредгольма II рода.
- •47. Метод механических квадратур для решения интегрального уравнения Фредгольма II рода.
- •48. Метод последовательных приближений для решения интегрального уравнения Вольтера II рода.
- •49. Метод механических квадратур для решения интегрального уравнения Вольтера II рода.
- •50. Решение интегральных уравнений. Метод замены ядра на вырожденное.
10. Сходимость и порядок аппроксимации метода Эйлера.
Одним из важнейших вопросов теории разностных схем является исследование метода на сходимость. Понятие сходимости можно сформулировать по-разному. Применительно к разностным численным методам, к которым относится и метод Эйлера, наибольшее распространение получило понятие сходимости в точке при неограниченном уменьшении шага сетки, т.е. h0. Это означает следующее. Фиксируем точку x* и построим последовательность равномерных сеток {} таких, что h0 и . (При этом необходимо, чтобы выполнялось условие i ).
Говорят, что метод Эйлера сходится в точке x*, если при h0,
Метод сходится на отрезке [0,X] если он сходится в каждой точке отрезка x[0,X]
Говорят, что метод имеет р-й порядок точности, если существует такое целое число р>0, что при h0
Получим уравнение, которому удовлетворяет разностная схема Эйлера
i=0,1,2,…,n-1 (1) ,
и сеточная функция, называемая погрешностью метода, т.е. . Для этого подставим сеточную функцию в уравнение Эйлера, предварительно выразив ее через функцию погрешности , получим
i=0,1,2,…,n-1 (2)
Преобразуем и окончательно получаем
i=0,1,2,…,n-1 (3)
Введем следующие обозначения
i=0,1,2,…,n-1 (4)
i=0,1,2,…,n-1 (5)
Тогда правую часть (3) можно записать как сумму этих функций
.
А метод Эйлера (3) будет выглядеть следующим образом
i=0,1,2,…,n-1 (6)
Функция , определяемая соотношением (4), называется невязкой или погрешностью аппроксимации разностного уравнения (1) на решении исходного дифференциального уравнения. Невязка представляет собой результат подстановки точного решения u=u(x) в левую часть разностного уравнения Эйлера (1). Если бы решение, полученное численным методом, совпадало с точным, т.е. выполнялось бы точное равенство , то невязка равнялась бы нулю.
Говорят, что разностный метод аппроксимирует исходное дифференциальное уравнение с p порядком аппроксимации, если невязка при неограниченном уменьшении шага дискретизации, т.е. и при этом невязка имеет p порядок точности, т.е. выполняется равенство .
В теории разностных схем доказывается, что порядок точности разностного метода совпадает с его порядком аппроксимации.
Функция , определяемая соотношением (5) ,обращается в 0, если правая часть исходного уравнения, т.е. функция f( x,u(x)), не зависит от искомого решения. Имеем f(x,u(x))= f(x) . В общем случае функция характеризует вычислительную погрешность функции f(x,u(x)) и ее значение пропорционально погрешности метода
i=0,1,2,…,n-1 (7)
Найдем порядок аппроксимации метода Эйлера (1), т.е. оценим величину функции при стремлении шага дискретизации . Воспользуемся разложением функции решения дифференциального уравнения u=u(x) в окрестности точки в ряд Тейлора.
i=0,1,2,…,n-1 (8)
В разложении отбросим слагаемые, ограничившись второй производной от искомой функции решения. Преобразуем соотношение (8)
i=0,1,2,…,n-1 (9) ,
Исходное дифференциальное уравнение для i-го узла может быть записано как
i=0,1,2,…,n-1 (10) ,
С другой стороны, учтем, что , и перепишем (9)
i=0,1,2,…,n-1 (11) ,
Левая часть (11) представляет собой функцию , т.е. погрешность разностного метода по определению (4). Таким образом, анализируя (9)-(11), приходим к выводу, что метод Эйлера имеет первый порядок аппроксимации. Наши рассуждения опирались на предположение, что вторая производная искомого решения u=u(x) в окрестности точки - ограниченная функция.