- •2. Понятие оду. Задача Коши, граничная задача.
- •3. Общая характеристика методов решения оду.
- •4. Постановка задачи Коши. Классификация численных методов её решения.
- •5. Схема Эйлера для решения задачи Коши. Графический способ построения. Св-ва и погрешность м-да.
- •6. Построение схемы Эйлера способом разложения в ряд Тейлора. Оценка точности метода.
- •7. Построение схемы Эйлера для решения задачи Коши разностным методом. Характеристика схемы.
- •8. Усовершенствованный метод Эйлера для решения задачи Коши. Свойства и погрешность метода.
- •9. Схема Эйлера-Коши для задачи Коши. Контроль точности решения.
- •10. Сходимость и порядок аппроксимации метода Эйлера.
- •11. Семейство методов Рунге-Кутта решения задачи Коши. Примеры методов Рунге-Кутта. (1 и 2 порядка точности).
- •12. Методы Рунге-Кутта 3 и 4 порядков точности. Выбор шага сетки. Оценка погрешности методов рунге-Кутта.
- •13. Методы Рунге-Кутта. Примеры схем различного порядка точности. Достоинства и недостатки этих методов.
- •14. Многошаговые методов решения задачи Коши. Интерполяционная и экстраполяционная схемы.
- •15. Многошаговые методы решения задач Коши. Явная схема Адамса.
- •16. Использование интерполяционных и квадратурных формул для построении многошаговых схем Адамса решения оду.
- •17. Практическая реализация явной и неявной схем Адамса.
- •18. Многошаговые методы решения задачи Коши. Неявная схема Адамса.
- •19. Сравнительная характеристика методов Адамса.
- •20. Повышение точности результатов при решении задачи Коши. Правило Рунге.
- •21. Численные метод решения систем оду. Схема Эйлера.
- •22. Численные метод решения систем оду. Схемы рунге-Кутта.
- •23. Жёсткие системы ду.
- •24. Численное дифференцирование конечными разностями. Оценка погрешности метода. Источники погрешностей.
- •25. Постановка двухточечной граничной задачи и классификация методов её решения.
- •26. Методы решения граничных задач для оду. Общая характеристика.
- •27. Метод редукции для решения краевых задач.
- •28. Применение метода редукции для решения краевой задачи на основе оду-2.
- •29. Решение краевой задачи методом стрельбы. Геометрическая интерпретация.
- •30. Метод стрельбы для решения краевой задачи на основе оду-2
- •31. Решение линейных и нелинейных краевых задач методом сеток.
- •32. Метод сеток для решения краевой задачи на основе оду-2
- •33. Метод прогонки для решения краевых задач второго порядка
- •34. Вариационно-проекционные методы решения краевых задач.
- •35. Метод коллокаций решения граничных задач.
- •36. Метод Галёркина для решения граничных задач на основе линейного ду.
- •37. Методы коллокаций и Галёркина для решения граничных задач на основе нелинейного ду.
- •40. Сравнительные характеристики методов решения граничных задач.
- •43. Приближённое вычисление интегралов.
- •43. Формула трапеций
- •44. Формулы Симпсона. Оценка погрешности.
- •45. Интегральные уравнения. Постановка задачи. Виды линейных интегральных уравнений.
- •Виды интегральных уравнений и соответствующие им задачи
- •46. Метод последовательных приближений для решения интегрального уравнения Фредгольма II рода.
- •47. Метод механических квадратур для решения интегрального уравнения Фредгольма II рода.
- •48. Метод последовательных приближений для решения интегрального уравнения Вольтера II рода.
- •49. Метод механических квадратур для решения интегрального уравнения Вольтера II рода.
- •50. Решение интегральных уравнений. Метод замены ядра на вырожденное.
36. Метод Галёркина для решения граничных задач на основе линейного ду.
Пусть для простоты имеем задачу, в основе которой лежит линейное дифференциальное уравнение второго порядка следующего вида
(1)
Где p(x), q(x), f(x)- известные функции и задача имеет нулевые граничные условия
u(0)=0 u(1)=0 (2)
Будем искать приближенное решение этой задачи (1)-(2) в виде
(3)
Функция , т.к. имеем нулевые граничные условия. Следовательно, можем записать
(4)
Базисные функции должны удовлетворять граничным условиям задачи, т.е.
(5)
Предполагаем также, что эти базисные функции являются дважды дифференцируемыми.
На отрезке [0,1] построим сетку, т.е. выберем n не обязательно равноудаленных точек , где где – узлы сетки , k=1,…,n и называются точками коллокации. Потребуем, чтобы приближенное решение (4) точно удовлетворяло дифференциальному уравнению (1) в этих n точках, т.е. требуем выполнения следующего равенства
(6)
k=1,2,…,n. Так как невязка для исходной задачи (1)-(2) определяется следующим образом .
(7),
то соотношение (6) означает, что в точках коллокации невязка уравнения (1) равна нулю и, следовательно, эта невязка будет ортогональна любому набору функций.
Подставим в (6) вместо y(x) правую часть выражения (4), получаем
(8)
k=1,2,…,n
Выполним дифференцирование и соберем коэффициенты, получаем
(9)
k=1,2,…,n
Получили систему n линейных уравнений с n неизвестными . Введем обозначения
(10)
(11)
k=1,2,…,n
(12)
(13)
В этих обозначениях (10)-(13) система (9) будет выглядеть так:
AC=F (14)
где А – матрица размера n на n c элементами , –вектор неизвестных коэффициентов, - вектор столбец свободных членов. Решив систему (14), найдем значения параметров и, следовательно, конкретное выражение приближенного решения (4) исходной задачи (1)-(2).
Таким образом, решение линейной двухточечной краевой задачи методом коллокаций состоит в следующем:
на отрезке поиска решения нужно выбрать точки коллокаций i=1,2,…,n, т.е. построить сетку ;
нужно подобрать функцию так, чтобы выполнялись граничные условия задачи и выбрать систему базисных функций удовлетворяющих нулевым граничным условиям задачи;
построить систему вида (14), т.е. определить коэффициенты и вектор F;
решить систему (14), т.е. определить значения компонент вектора C;
найти решение исходной задачи по формуле (3) в любых точках отрезка, в том числе и в точках коллокаций.