- •2. Понятие оду. Задача Коши, граничная задача.
- •3. Общая характеристика методов решения оду.
- •4. Постановка задачи Коши. Классификация численных методов её решения.
- •5. Схема Эйлера для решения задачи Коши. Графический способ построения. Св-ва и погрешность м-да.
- •6. Построение схемы Эйлера способом разложения в ряд Тейлора. Оценка точности метода.
- •7. Построение схемы Эйлера для решения задачи Коши разностным методом. Характеристика схемы.
- •8. Усовершенствованный метод Эйлера для решения задачи Коши. Свойства и погрешность метода.
- •9. Схема Эйлера-Коши для задачи Коши. Контроль точности решения.
- •10. Сходимость и порядок аппроксимации метода Эйлера.
- •11. Семейство методов Рунге-Кутта решения задачи Коши. Примеры методов Рунге-Кутта. (1 и 2 порядка точности).
- •12. Методы Рунге-Кутта 3 и 4 порядков точности. Выбор шага сетки. Оценка погрешности методов рунге-Кутта.
- •13. Методы Рунге-Кутта. Примеры схем различного порядка точности. Достоинства и недостатки этих методов.
- •14. Многошаговые методов решения задачи Коши. Интерполяционная и экстраполяционная схемы.
- •15. Многошаговые методы решения задач Коши. Явная схема Адамса.
- •16. Использование интерполяционных и квадратурных формул для построении многошаговых схем Адамса решения оду.
- •17. Практическая реализация явной и неявной схем Адамса.
- •18. Многошаговые методы решения задачи Коши. Неявная схема Адамса.
- •19. Сравнительная характеристика методов Адамса.
- •20. Повышение точности результатов при решении задачи Коши. Правило Рунге.
- •21. Численные метод решения систем оду. Схема Эйлера.
- •22. Численные метод решения систем оду. Схемы рунге-Кутта.
- •23. Жёсткие системы ду.
- •24. Численное дифференцирование конечными разностями. Оценка погрешности метода. Источники погрешностей.
- •25. Постановка двухточечной граничной задачи и классификация методов её решения.
- •26. Методы решения граничных задач для оду. Общая характеристика.
- •27. Метод редукции для решения краевых задач.
- •28. Применение метода редукции для решения краевой задачи на основе оду-2.
- •29. Решение краевой задачи методом стрельбы. Геометрическая интерпретация.
- •30. Метод стрельбы для решения краевой задачи на основе оду-2
- •31. Решение линейных и нелинейных краевых задач методом сеток.
- •32. Метод сеток для решения краевой задачи на основе оду-2
- •33. Метод прогонки для решения краевых задач второго порядка
- •34. Вариационно-проекционные методы решения краевых задач.
- •35. Метод коллокаций решения граничных задач.
- •36. Метод Галёркина для решения граничных задач на основе линейного ду.
- •37. Методы коллокаций и Галёркина для решения граничных задач на основе нелинейного ду.
- •40. Сравнительные характеристики методов решения граничных задач.
- •43. Приближённое вычисление интегралов.
- •43. Формула трапеций
- •44. Формулы Симпсона. Оценка погрешности.
- •45. Интегральные уравнения. Постановка задачи. Виды линейных интегральных уравнений.
- •Виды интегральных уравнений и соответствующие им задачи
- •46. Метод последовательных приближений для решения интегрального уравнения Фредгольма II рода.
- •47. Метод механических квадратур для решения интегрального уравнения Фредгольма II рода.
- •48. Метод последовательных приближений для решения интегрального уравнения Вольтера II рода.
- •49. Метод механических квадратур для решения интегрального уравнения Вольтера II рода.
- •50. Решение интегральных уравнений. Метод замены ядра на вырожденное.
3. Общая характеристика методов решения оду.
Для решения ОДУ можно использовать следующие классы методов:
1. Графические. Методы основаны на геометрических построениях.
2. Аналитические методы, иначе называются точными, получают решение путем аналитических преобразований в виде формул, как комбинаций элементарных функций. Классы уравнений, к которым применимы точные методы, сравнительно узки и охватывают только малую часть возникающих на практике задач
3. Приближенными называются методы, которые используют различные упрощения самих уравнений путем обоснованного отбрасывания некоторых содержащихся в них членов. Т.е. решение получается как предел некоторой последовательности функций, причем каждый член этой последовательности выражается через элементарные функции. Например. Метод разложения решения в обобщенный степенной ряд, асимптотические методы. Однако эти методы удобны лишь в случае, когда основную часть выкладок можно сделать точно. А такое ограничение существенно сужает круг задач, для которых целесообразно применять приближенные методы.
4. Численные методы – это алгоритмы вычисления приближенных значений искомой функции на сетке, т.е. некотором конечном множестве точек. Решение при этом получается в виде таблицы. Численный метод не позволяет найти общее решение уравнения (1). Численными методами определяются только частные решения задачи (1), что является основным и весьма существенным недостатком численных методов решения обыкновенных дифференциальных уравнений или систем такого вида. Однако численные методы могут применяться для решения широкого класса уравнений и ко всем типам задач для таких уравнений. Численные методы применяются для решения корректно поставленных задач. Наибольшее распространение среди численных методов решения обыкновенных дифференциальных уравнений получили методы, базирующиеся на методе конечных разностей.
Сущность метода конечных разностей состоит в следующем. Область непрерывного изменения аргумента заменяется дискретным множеством точек, называемых узлами. Эти узлы составляют разностную сетку. Сеткой называется любое конечное множество точек области (отрезка). Функция, определенная в узлах сетки, называется сеточной функцией. Сетку принято обозначать , hi=xi+1-xi- шаг сетки, i=0,1,2,…,n-1}, где i=0,1,2,…,n – узлы сетки., f(xi) – сеточная функция. Сетка называется равномерной сеткой, если шаг сетки h=const будет величиной постоянной. Во всех остальных случаях сетка называется неравномерной. Исходное дифференциальное уравнение заменяется разностным уравнением относительно сеточной функции. При этом для входящих в уравнение производных используют соответствующие конечно-разностные соотношения. Такая замена дифференциального уравнения разностным называется аппроксимацией на сетке или разностной аппроксимацией. Т.о. решение дифференциального уравнения сводится к отысканию значений сеточной функции в узлах сетки. при этом возникают вопросы обоснованности замены дифференциальных уравнений сеточными, уровня качества такой аппроксимации, точности получаемых численных решений, устойчивости применяемого метода и т.д., т.е. вопросы теоретического обоснования численных методов.
В теории разностных схем для компактности записи дифференциального уравнения, начальных и граничных условий используют некоторый символический вид записи, называемый операторным.