6. Напряженность для различных конфигураций источников поля.

В случае удачной симметрии распределения зарядов теорема Гаусса позволяет найти напряженность поля гораздо проще, чем с использованием формулы для напряженности поля точечного заряда и принципа суперпозиции полей.

Определения.

Объемная плотность заряда аналогична обычной плотности: p=lim(dq/dV)

где dq – заряд, заключенный внутри малого объема dV.

Поверхностная плотность заряда: сигма=lim(dq/dS)

где q – заряд, находящийся на отрезке цилиндрического тела, имеющем длину l

Пользуясь теоремой Гаусса можно получить значения напряженностей для ряда часто используемых случаев распределения зарядов.

1. Поле бесконечной однородно заряженной плоскости. Плоскость заряжена с постоянной поверхностной плотностью (сигма). Из соображений симметрии следует, что Е в любой точке поля перпендикулярна к плоскости. В самом деле, поскольку плоскость бесконечна и заряжена однородно (т. е. с постоянной плотностью), нет никаких оснований к тому, чтобы сила, действующая на пробный заряд, отклонялась в какую-либо сторону от

нормали к плоскости.

Очевидно также, что в симметричных относительно плоскости точках Е одинакова по величине и противоположна по направлению.

откуда E=сигма/2(e0)

Таким образом, на любом расстоянии от плоскости напряженность одинакова по величине.

2. Поле двух разноименно заряженных плоскостей.

Поле двух параллельных бесконечных плоскостей, заряженных разноименно с одинаковой поверхностной плотностью сигма, определяется суперпозицией полей, создаваемых каждой из плоскостей в отдельности. В области между плоскостями (рис. 15) складываемые поля имеют одинаковое направление, так что результирующая напряженность равна E=сигма/e0

Вне объема, ограниченного плоскостями, складываемые поля имеют противоположные направления, так что результирующая напряженность равна нулю.

3. Поле бесконечного заряженного цилиндра.

Имеется бесконечная цилиндрическая поверхность радиуса R, заряженная с постоянной поверхностной плотностью сигма. Симметрия задачи подсказывает, что напряженность поля в любой точке направлена перпендикулярно к оси цилиндра, а величина напряженности определяется только расстоянием r от оси цилиндра. При этом на одинаковых расстояниях от центра цилиндра напряженность одинакова. E=сигма/e0

4. Поле заряженной сферической поверхности. Поле сферической поверхности радиуса R, заряженной с постоянной поверхностной плотностью , очевидно, характеризуется центральной симметрией. То есть направление вектора Е в любой точке проходит через центр сферы, а величина напряженности является функцией только расстояния r от центра сферы.

E=сигма/e0

5. Поле объемно заряженной сферы радиуса R, заряженной с постоянной объемной плотностью . Как и в предыдущем случае, поле такой сферы обладает центральной симметрией. Понятно, что для поля вне сферы получается тот же результат [в том числе и формула (17)]. Однако для точек внутри сферы результат будет иным. Сферическая поверхность радиуса r < R заключает в себе заряд,

E=(1/4pi(e0))*(q/R^3)*(r)

Таким образом, внутри сферы напряженность поля растет линейно с расстоянием r от центра сферы. Вне сферы напряженность убывает по такому же закону, как и у поля точечного заряда.