15. Описание поля в диэлектриках

Под напряженностью поля в диэлектрике понимают значение Е, получающееся усреднением истинного поля по физически бесконечно малому объему. Истинное (микроскопическое) поле в диэлектрике сильно меняется в пределах межмолекулярных расстояний. Однако при рассмотрении действия поля на макроскопические тела эти изменения сказываться не будут, и действие поля на тело определяется усредненным (макроскопическим) значением Е.

Макроскопическое поле Е получается в результате наложения двух полей: поля Е₀, создаваемого свободными зарядами, которые могут передаваться от одного тела к другому при их касании, и поля Е' связанных зарядов. В силу принципа суперпозиции полей

(16.1)

Поляризация диэлектрика обусловлена действием суммарного поля (16.1). Следовательно, именно это Е нужно подставлять в формулы (15.2) и (15.12).( P = æ₀E; ’ = æ ₀E_n)

Связанные заряды не могут покинуть пределы молекулы (или атома), в состав которой они входят. В остальном же их свойства таковы, как и у всех прочих зарядов. В частности, на связанных зарядах начинаются либо заканчиваются q'/₀ линий вектора Е'. Поэтому теорему Гаусса для определяемого выражением (16.1) вектора Е нужно записывать следующим образом:

(16.2)

т. е. при вычислении потока вектора Е через замкнутую поверхность следует учитывать алгебраическую сумму не только свободных, но также и связанных зарядов, заключенных внутри поверхности. Поэтому формула (16.2) оказывается малопригодной для нахождения вектора Е в диэлектрике – она выражает свойства неизвестной величины Е через связанные заряды q', которые в свою очередь определяются неизвестной Е [см. (15.12)].

Затруднение, обусловленное тем, что Е зависит также и от связанных зарядов, можно обойти, введя в рассмотрение вспомогательную величину, связанную простым соотношением с вектором Е и определяемую лишь распределением в пространстве свободных зарядов. Чтобы установить вид этой вспомогательной величины, подставим в (16.2) выражение (15.9) ( ), что позволит исключить из соотношений заряды q', заменив их потоком вектора Р.

После подстановки получим:

(16.3)

Выражение, стоящее в скобках под знаком интеграла, и есть та вспомогательная величина, о которой шла речь выше. Ее обозначают буквой D и называют электрическим смещением (или электрической индукцией).

Получаем

(16.4)

Теперь (16.3) может быть записана в виде

(16.5)

В случае непрерывного распределения свободных зарядов внутри поверхности с объемной плотностью  (16.5) видоизменяется:

(16.6)

Формулы (16.5) и (16.6) выражают теорему Гаусса для вектора электрического смещения: поток вектора электрического смещения через замкнутую поверхность равен алгебраической сумме заключенных внутри этой поверхности свободных зарядов.

В вакууме Р = 0, так что определяемая выражением (16.4) величина D превращается в  ₀E и формулы (16.5) и (16.6) переходят в формулы (8.3) и (8.4).

Единицей потока вектора электрического смещения является кулон (K). Согласно (16.5) заряд в 1 К создает через охватывающую его поверхность поток смещения в 1 K.

Подставив в формулу (16.4) выражение (15.2 P = æ₀E) для Р, получим

(16.7)

Безразмерную величину

(16.8)

называют относительной диэлектрической проницаемостью или просто диэлектрической проницаемостью среды. Следовательно, соотношение (16.7) можно записать в виде

(16.9)

(В анизотропных диэлектриках направления D и Е, вообще говоря, не совпадают)

Это и есть то простое соотношение между векторами Е и D, о котором речь была выше. Согласно формулам (5.3) и (16.9) электрическое смещение поля точечного заряда в вакууме равно

Рнс. 33.

(16.10)

Единицей электрического смещения служит кулон на квадратный метр (к/м²).

Поле внутри плоской пластины.

Чтобы выяснить физический смысл величин D и , рассмотрим пример поля в диэлектрике.

Рассмотрим поле, создаваемое в вакууме двумя бесконечными разноименно заряженными плоскостями. Обозначим напряженность поля Е₀, а электрическое смещение D₀ =  ₀ Е₀.

Внесем в это поле пластину из однородного диэлектрика и расположим ее так, как показано на рис. 33. Под действием поля на поверхностях диэлектрика появятся связанные заряды плотности  ’. Эти заряды создадут внутри пластины однородное поле, напряженность которого равна . Вне диэлектрика Е' = 0. Напряженность поля Е₀ =  / ₀. Эти поля антипараллельны, тогда, внутри диэлектрика

(16.17)

Вне диэлектрика Е = Е₀.

Поляризация диэлектрика обусловлена полем (16.17). Поскольку оно перпендикулярно к поверхности пластины, Е_n = Е. Кроме того, в соответствии с (15.12) . Подставляя это значение в формулу (16.17), получаем откуда

(16.18)

Итак, в рассматриваемом случае относительная диэлектрическая проницаемость  показывает, во сколько раз ослабляется поле за счет диэлектрика.

Умножив (16.18) на ₀, получим электрическое смещение внутри пластины

D = ₀ E = ₀E₀. (16.19)

Таким образом, внутри пластины электрическое смещение равно напряженности поля свободных зарядов, умноженной на ₀, т. е. совпадает с электрическим смещением внешнего поля D₀. Вне пластины  = 1 и D также равно ₀E₀.

Чтобы найти ’, выразим в (16.17) Е и Е₀ через плотности зарядов

Отсюда

(16.20)

Таким образом, оказывается, что диэлектрическая проницаемость определяет относительную величину связанных зарядов по отношению к величине свободных зарядов, создающих электрическое поле.

Приведенный пример (рис.33) характерен тем, что диэлектрик был однородным и ограничивающие его поверхности совпадали с эквипотенциальными поверхностями. Полученный в этих случаях результат является общим. Если однородный диэлектрик полностью заполняет объем, ограниченный эквипотенциальными поверхностями, то вектор электрического смещения совпадает с вектором напряженности поля свободных зарядов, умноженным на ₀ и, следовательно, напряженность поля внутри диэлектрика в ε раз меньше, чем напряженность поля свободных зарядов.

Рис. 35.

Рис. 36.

Если упомянутые условия не соблюдаются, векторы D и ₀Е₀ не совпадают. На рис. 35 показано поле в пластине диэлектрика, перекошенной относительно плоскостей, несущих свободные заряды. Вектор Е' перпендикулярен к граням пластины, поэтому Е и Е₀ неколлинеарны. Вектор D направлен так же, как Е, следовательно, D и ₀Е₀ не совпадают по направлению. Можно показать, что они не совпадают и по величине.

Во всех рассмотренных выше примерах из-за специально выбранной формы диэлектрика поле Е' было отлично от нуля только внутри диэлектрика. В общем случае Е' может быть отлично от нуля и за пределами диэлектрика. Поместим в первоначально однородное поле стержень из диэлектрика (рис. 36). Вследствие поляризации на концах стержня образуются связанные заряды противоположных знаков. Их поле вне стержня эквивалентно полю диполя (линии Е' показаны на рисунке пунктиром). Легко видеть, что результирующее поле Е вблизи концов стержня больше Е₀.

Преломление линий электрического смещения.

Поле вектора D можно изобразить с помощью линий электрического смещения (для краткости линий смещения), направление и густота которых определяются точно так же, как и для линий вектора Е.

Поместим в однородное поле Е₀ две сложенные вместе плоскопараллельные однородные пластины из разных диэлектриков (рис. 37). При разных ₁ и ₂ плотности зарядов  '₁ и  '₂ также будут различными. Следовательно, на поверхности, по которой соприкасаются

Рис. 37.

пластины, возникнет избыточный связанный заряд q'_изб. Однако, как мы знаем, линии вектора D могут начинаться и заканчиваться только на свободных зарядах. Поэтому линии смещения пройдут через поверхность раздела двух диэлектриков, не прерываясь. Они лишь, как мы покажем ниже, претерпевают на этой поверхности излом.

Найдем соотношения между нормальными, а также между тангенциальными (по отношению к поверхности раздела) составляющими векторов D и Е в первом и во втором диэлектриках.

Рассмотрим воображаемый цилиндр высоты h, основания которого S₁ и S₂ расположены по разные стороны поверхности раздела (рис. 37,а). Применим к этому цилиндру теорему Гаусса. Внутри цилиндра имеются лишь связанные заряды, свободных зарядов по предположению там нет. Поэтому правая часть в формуле (16.5 ) обращается в нуль. Потоком D через боковую поверхность цилиндра можно пренебречь, так как h мы устремим к нулю. Поток через верхнее основание цилиндра равен D_lnS₁, где D_ln – нормальная составляющая вектора D в первом диэлектрике в непосредственной близости к поверхности раздела. Аналогично поток через нижнее основание есть D_2nS₂, где D_2n – нормальная составляющая вектора D во втором диэлектрике также в непосредственной близости к поверхности раздела диэлектриков. Сложив эти два потока, мы получим полный поток, который по условию должен быть равен нулю:

Ф_D = D_lnS₁ + D_2nS₂ = (D_ln + D_2n) S = 0.

Отсюда следует, что D_ln = – D_2n. Знаки составляющих оказались различными вследствие того, что нормали n₁ и n₂ к основаниям цилиндра имеют противоположные направления. Если проектировать D_ln и D_2n на одну и ту же нормаль, то получится, что

D_ln = D_2n (17.1)

Заменив согласно (16.9 D =  ₀  Е) составляющие D соответствующими составляющими вектора Е, умноженными на ₀, получим соотношение

₀₁Е_ln = ₀₂Е_2n

из которого следует, что

(17.2)

Теперь обратимся к тангенциальным составляющим векторов Е и D. Согласно формуле (16.1) Е = Е₀ + Е'.

Вектор Е₀ в обоих диэлектриках по предположению одинаков. Векторы Е', как видно из рис. 37, б, направлены по нормали к поверхности раздела, вследствие чего оказывают влияние только на нормальные составляющие вектора Е. Отсюда заключаем, что тангенциальные составляющие вектора Е в обоих диэлектриках должны быть одинаковыми:

Е_1 = Е_2 (17.3)

Заменив согласно (16.9 D =  ₀  Е) составляющие Е соответствующими составляющими вектора D, деленными на ₀, получим соотношение

из которого следует, что

(17.4)

Резюмируя, можно сказать, что при переходе через границу раздела двух диэлектриков нормальная составляющая вектора D и тангенциальная составляющая вектора Е изменяются непрерывно. Тангенциальная же составляющая вектора D и нормальная составляющая вектора Е при переходе через границу раздела претерпевают разрыв.