Вопрос 14

Работа поля

Работа при перемещении тела в силовом поле вдоль кривой C выражается через криволинейный интеграл второго рода

где − сила, действующая на тело, − единичный касательный вектор (рисунок 1). Обозначение означает скалярное произведение векторов и . Заметим, что силовое поле не обязательно является причиной движения тела. Тело может двигаться под действием другой силы. В таком случае работа силы иногда может оказаться отрицательной. Если векторное поля задано в координатной форме в виде

то работа поля вычисляется по формуле

В частном случае, когда тело двигается вдоль плоской кривой C в плоскости Oxy, справедлива формула

где . Если траектория движения C определена через параметр t (t часто означает время), то формула для вычисления работы принимает вид

где t изменяется в интервале от α до β. Если векторное поле потенциально, то работа по перемещению тела из точки A в точку B выражается формулой

где − потенциал поля.

Вопрос 15

Формула Остроградского—Гаусса устанавливает связь между поверхностным интегралом по замкнутой ориентированной поверхности G и тройным интегралом по пространственной области = G, и обобщает формулу Грина на пространственный случай. Т: Пусть функции P(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z) непрерывны вместе со своими частными производными первого порядка в ограниченной замкнутой области = G — гладкая ориентированная поверхность. Тогда справедлива формула

(27.9)

причем поверхностный интеграл берется по внешней стороне G

Формула (27.9) и носит название формулы Остроградского— Гаусса.

Предположим, что — простая область, т.е. пересекается с любой прямой, параллельной осям координат, не более чем в двух точках (рис. 27.10). Если не является простой, то ее необходимо разбить на конечное число простых областей. Пусть — уравнения нижней и верхней поверхностей G, D= G. Тогда, используя (27.8), имеем

Рис. 27.10

Аналогично доказываются формулы

Складывая почленно, имеем (27.9)

Вопрос 16 Примеры физических задач, приводящих к уравнениям с разделяющимися переменными Охлаждение тела

Пусть  — температура тела,  — температура окружающей среды ( ). Пусть  — количество теплоты,  — удельная теплоёмкость. Тогда количество теплоты передаваемое окружающей среде до выравнивания температур выражается формулой , или, в дифференциальной форме, . С другой стороны скорость отдачи тепла можно выразить в виде , где  — некий коэффициент пропорциональности. Исключая из этих двух уравнений получаем уравнение с разделяющимися переменными:

.

Общим решением этого уравнения является семейство функций .

Дифференциальное уравнение первого порядка, содержит: 1) независимую переменную ; 2) зависимую переменную  (функцию); 3) первую производную функции: .

В некоторых случаях в уравнении первого порядка может отсутствовать «икс» или (и) «игрек» – важно чтобы в ДУ была первая производная , и не было производных высших порядков – ,  и т.д.

Что значит решить дифференциальное уравнение? Решить дифференциальное уравнение – это значит, найти множество функций , которые удовлетворяют данному уравнению. Такое множество функций называется общим решением дифференциального уравнения.

Пример 1

Решить дифференциальное уравнение

Полный боекомплект. С чего начать решение любого дифференциального уравнения первого порядка?

В первую очередь нужно переписать производную немного в другом виде. Вспоминаем громоздкое обозначение производной: . Такое обозначение производной многим из вас наверняка казалось нелепым и ненужным, но в диффурах рулит именно оно!

Итак, на первой этапе переписываем производную в нужном нам виде:

На втором этапе всегда смотрим, нельзя ли разделить переменные? Что значит разделить переменные? Грубо говоря, в левой части нам нужно оставить только «игреки», а в правой части организовать только «иксы». Разделение переменных выполняется с помощью «школьных» манипуляций: вынесение за скобки, перенос слагаемых из части в часть со сменой знака, перенос множителей из части в часть по правилу пропорции и т.п.

Дифференциалы  и  – это полноправные множители и активные участники боевых действий. В рассматриваемом примере переменные легко разделяются перекидыванием множителей по правилу пропорции:

Переменные разделены. В левой части – только «игреки», в правой части – только «иксы».

Следующий этап – интегрирование дифференциального уравнения. Всё просто, навешиваем интегралы на обе части:

Разумеется, интегралы нужно взять. В данном случае они табличные: Как мы помним, к любой первообразной приписывается константа. Здесь два интеграла, но константу  достаточно записать один раз. Почти всегда её приписывают в правой части.

Строго говоря, после того, как взяты интегралы, дифференциальное уравнение считается решенным. Единственное, у нас «игрек» не выражен через «икс», то есть решение представлено в неявном виде.  Решение дифференциального уравнения в неявном виде называется общим интегралом дифференциального уравнения. То есть,  – это общий интеграл.

Теперь нужно попробовать найти общее решение, то есть попытаться представить функцию в явном виде.

Пожалуйста, запомните первый технический приём, он очень распространен и часто применяется в практических заданиях. Когда в правой части после интегрирования появляется логарифм, то константу почти всегда целесообразно записать тоже под логарифмом.

То есть, вместо записи  обычно пишут .

Здесь  – это такая же полноценная константа, как и . Зачем это нужно? А для того, чтобы легче было выразить «игрек». Используем школьное свойство логарифмов: . В данном случае:

Теперь логарифмы и модули можно с чистой совестью убрать с обеих частей:

Функция представлена в явном виде. Это и есть общее решение.

Множество функций  является общим решением дифференциального уравнения .

Придавая константе  различные значения, можно получить бесконечно много частных решений дифференциального уравнения. Любая из функций , ,  и т.д. будет удовлетворять дифференциальному уравнению .

Иногда общее решение называют семейством функций. В данном примере общее решение   – это семейство линейных функций, а точнее, семейство прямых пропорциональностей.

Многие дифференциальные уравнения довольно легко проверить. Делается это очень просто, берём найденное решение  и находим производную:

Подставляем наше решение  и найденную производную  в исходное уравнение :  – получено верное равенство, значит, решение найдено правильно. Иными словами, общее решение  удовлетворяет уравнению .

После обстоятельного разжевывания первого примера уместно ответить на несколько наивных вопросов о дифференциальных уравнениях.

1) В этом примере нам удалось разделить переменные: . Всегда ли это можно сделать? Нет, не всегда. И даже чаще переменные разделить нельзя. Например, в однородных уравнениях первого порядка, необходимо сначала провести замену. В других типах уравнений, например, в линейном неоднородном уравнении первого порядка, нужно использовать различные приёмы и методы для нахождения общего решения. Уравнения с разделяющимися переменными, которые мы рассматриваем на первом уроке – простейший тип дифференциальных уравнений.

2) Всегда ли можно проинтегрировать дифференциальное уравнение? Нет, не всегда. Очень легко придумать «навороченное» уравнение, которое не проинтегрировать,  кроме того, существуют неберущиеся  интегралы. Но подобные ДУ можно решить приближенно с помощью специальных методов. Даламбер и Коши гарантируют. …тьфу, lurkmore.ru давеча начитался.

3) В данном примере мы получили решение в виде общего интеграла . Всегда ли можно из общего интеграла найти общее решение, то есть, выразить «игрек» в явном виде? Нет не всегда. Например: . Ну и как тут выразить «игрек»?! В таких случаях ответ следует записать в виде общего интеграла. Кроме того, иногда общее решение найти можно, но оно записывается настолько громоздко и коряво, что уж лучше оставить ответ в виде общего интеграла

Торопиться не будем. Еще одно простое ДУ и еще один типовой приём решения.

Пример 2

Найти частное решение дифференциального уравнения , удовлетворяющее начальному условию

По условию требуется найти частное решение ДУ, удовлетворяющее начальному условию. Такая постановка вопроса также называется задачей Коши.

Сначала находим общее решение. В уравнении нет переменной «икс», но это не должно смущать, главное, в нём есть первая производная.

Переписываем производную в нужном виде:

Очевидно, что переменные можно разделить, мальчики – налево, девочки – направо:

Интегрируем уравнение:

Общий интеграл получен. Здесь константу я нарисовал с надстрочной звездочкой, дело в том, что очень скоро она превратится в другую константу.

Теперь пробуем общий интеграл преобразовать в общее решение (выразить «игрек» в явном виде). Вспоминаем старое, доброе, школьное: . В данном случае:

Константа в показателе смотрится как-то некошерно, поэтому её обычно спускают с небес на землю. Если подробно, то происходит это так. Используя свойство степеней, перепишем функцию следующим образом:

Если  – это константа, то  – тоже некоторая константа, которую обозначим через букву : Запомните «снос» константы, это второй технический приём, который часто используют в ходе решения дифференциальных уравнений.

Итак, общее решение: . Такое вот симпатичное семейство экспоненциальных функций.

На завершающем этапе нужно найти частное решение, удовлетворяющее заданному начальному условию . Это тоже просто.

В чём состоит задача? Необходимо подобрать такое значение константы , чтобы выполнялось заданное начальное условие .

Оформить можно по-разному, но понятнее всего, пожалуй, будет так. В общее решение вместо «икса» подставляем ноль, а вместо «игрека» двойку: То есть,

Стандартная версия оформления:

В общее решение  подставляем найденное значение константы :  – это и есть нужное нам частное решение.

Выполним проверку. Проверка частного решение включает в себя два этапа.

Сначала необходимо проверить, а действительно ли найденное частное решение  удовлетворяет начальному условию ? Вместо «икса» подставляем ноль и смотрим, что получится:  – да, действительно получена двойка, значит, начальное условие выполняется.

Второй этап уже знаком. Берём полученное частное решение  и находим производную:

Подставляем  и  в исходное уравнение :

 – получено верное равенство.

Вывод: частное решение найдено правильно.

Переходим к более содержательным примерам.

Пример 3

Решить дифференциальное уравнение

Решение: Переписываем производную в нужном нам виде:

Оцениваем, можно ли разделить переменные? Можно. Переносим второе слагаемое в правую часть со сменой знака:

И перекидываем множители по правилу пропорции:

Переменные разделены, интегрируем обе части:

Должен предупредить, приближается судный день. Если вы плохо изучили неопределенные интегралы, прорешали мало примеров, то деваться некуда – придется их осваивать сейчас.

Интеграл левой части легко найти методом подведения функции под знак дифференциала, с интегралом от котангенса расправляемся стандартным приемом, который мы рассматривали на уроке Интегрирование тригонометрических функций в прошлом году:

В правой части у нас получился логарифм, согласно моей первой технической рекомендации, в этом случае константу тоже следует записать под логарифмом.

Теперь пробуем упростить общий интеграл. Поскольку у нас одни логарифмы, то от них вполне можно (и нужно) избавиться. Максимально «упаковываем» логарифмы. Упаковка проводится с помощью трёх свойств:

Пожалуйста, перепишите эти три формулы к себе в рабочую тетрадь, при решении диффуров они применяются очень часто.

Решение распишу очень подробно:

Упаковка завершена, убираем логарифмы:

Можно ли выразить «игрек»? Можно. Надо возвести в квадрат обе части. Но делать этого не нужно.

Третий технический совет: Если для получения общего решения нужно возводить в степень или извлекать корни, то в большинстве случаев следует воздержаться от этих действий и оставить ответ в виде общего интеграла. Дело в том, что общее решение будет смотреться вычурно и ужасно – с большими корнями, знаками .

Поэтому ответ запишем в виде общего интеграла. Хорошим тоном считается представить общий интеграл в виде , то есть, в правой части, по возможности, оставить только константу. Делать это не обязательно, но всегда же выгодно порадовать профессора ;-)

Ответ: общий интеграл:

Примечание: общий интеграл любого уравнения можно записать не единственным способом. Таким образом, если у вас не совпал результат с заранее известным ответом, то это еще не значит, что вы неправильно решили уравнение.

Общий интеграл тоже проверяется довольно легко, главное, уметь находить производные от функции, заданной неявно. Дифференцируем ответ:

Умножаем оба слагаемых на :

И делим на :

Получено в точности исходное дифференциальное уравнение , значит, общий интеграл найден правильно.

Пример 4

Найти частное решение дифференциального уравнения , удовлетворяющее начальному условию . Выполнить проверку.

Это пример для самостоятельного решения. Напоминаю, что задача Коши состоит из двух этапов: 1) Нахождение общего решение. 2) Нахождение частного решения.

Проверка тоже проводится в два этапа (см. также образец Примера 2), нужно: 1) Убедиться, что найденное частное решение действительно удовлетворяет начальному условию. 2) Проверить, что частное решение вообще удовлетворяет дифференциальному уравнению.

Полное решение и ответ в конце урока.

Пример 5

Найти частное решение дифференциального уравнения , удовлетворяющее начальному условию . Выполнить проверку.

Решение: Сначала найдем общее решение. Данное уравнение уже содержит готовые дифференциалы  и , а значит, решение упрощается. Разделяем переменные:

Интегрируем уравнение:

Интеграл слева – табличный, интеграл справа – берем методом подведения функции под знак дифференциала:

Общий интеграл получен, нельзя ли удачно выразить общее решение? Можно. Навешиваем логарифмы:

(Надеюсь, всем понятно преобразование , такие вещи надо бы уже знать)

Итак, общее решение:

Найдем частное решение, соответствующее заданному начальному условию . В общее решение вместо «икса» подставляем ноль, а вместо «игрека» логарифм двух:

Более привычное оформление:

Подставляем найденное значение константы  в общее решение.

Ответ: частное решение:

Проверка: Сначала проверим, выполнено ли начальное условие :  – всё гуд.

Теперь проверим, а удовлетворяет ли вообще найденное частное решение  дифференциальному уравнению. Находим производную:

Смотрим на исходное уравнение:  – оно представлено в дифференциалах. Есть два способа проверки. Можно из найденной производной  выразить дифференциал : Подставим найденное частное решение  и полученный дифференциал  в исходное уравнение : Используем основное логарифмическое тождество : Получено верное равенство, значит, частное решение найдено правильно.

Второй способ проверки зеркален и более привычен: из уравнения  выразим производную, для этого разделим все штуки на :

И в преобразованное ДУ подставим полученное частное решение  и найденную производную . В результате упрощений тоже должно получиться верное равенство.

Класс дифференциальных уравнений, которые мы можем эффективно решить, весьма узок. Например, решение простого на первый взгляд дифференциального уравнения

оказывается, не может быть сведено даже к квадратурам (интегралам). Поэтому в большинстве случаев приходится решать дифференциальные уравнения приближенно.

Но прежде чем применять какой-либо приближенный метод, надо знать, существует ли на самом деле решение дифференциального уравнения. Очень важно также знать заранее, единственно ли оно.

Ниже формулируются условия, которые гарантируют существование и единственность решения дифференциального уравнения первого порядка

                                                                   (1)

при начальном условии

.                                                                      (2)

Имеет место следующая теорема.

Теорема 1. Пусть функция  непрерывна на прямоугольнике

и имеет на нем ограниченную производную  удовлетворяющую неравенству

.                                                                                (3)

Тогда на отрезке , где

,                                (4)

существует и притом единственное решение уравнения (1), удовлетворяющее начальному условию (2).

При этом выполняется неравенство

.

Решение  непрерывно дифференцируемо на . А если  на самом деле имеет непрерывные частные производные по  и  порядка , то  имеет на  непрерывные производные до порядка  включительно.

Рис. 7

На рис. 7 в плоскости изображен прямоугольник  и принадлежащий к нему прямоугольник

.

Теорема утверждает, что если на прямоугольнике  функция  непрерывна и имеет ограниченную частную производную  удовлетворяющую неравенству (3), то через точку  проходит единственная интегральная кривая , определенная для всех значений . Она полностью принадлежит к прямоугольнику . Число  удовлетворяет соотношениям (4).

Подчеркнем, что теорема 1 гарантирует существование определенного отрезка

,

на котором заведомо существует решение

уравнения (1), проходящее через точку .

Если бы нам понадобилось найти это решение приближенно, то при наличии указанной информации мы организовали бы нахождение приближенного решения именно на этом отрезке , потому что нельзя ручаться, что указанное решение определено вне .

Теорема 1 будет доказана в § 1.6, а сейчас мы рассмотрим

Пример. Уравнение

                                                                               (5)

есть частный случай дифференциального уравнения (1).

Правая его часть не зависит от . В данном случае функция  равна  при любом .

Так как функция  при любом  непрерывна вместе со своей производной по , то определяемая ею функция  непрерывна вместе со своей частной производной  на всей плоскости . Поэтому, не решая уравнение (5), на основании теоремы существования, что через любую точку  проходит и притом единственная интегральная кривая уравнения (5).

Пусть . Зададим произвольный прямоугольник

.

Для него

Следовательно,

.                                        (6)

Уравнение (5) легко решается. Общий его интеграл в верхней полуплоскости  и в нижней полуплоскости  определяется равенством

.                                                                 (7)

Имеется еще одно решение , но оно нас не будет интересовать.

Среди решений (7) выберем то, которое проходит через точку (3, 1). Очевидно, это есть решение

.

Его график изображен на рис. 8. Мы видим, что интегральная кривая уравнения (5), проходящая через точку , уходит в бесконечность при .

Рис. 8

Наибольший интервал с центром в точке , на котором определена наша интегральная кривая, есть интервал (2, 4). Соотношение (6), полученное из общей теоремы существования, дает несколько меньший интервал.