- •Вопрос1
- •Вопрос 2
- •Вопрос 3
- •Вопрос 4
- •Несобственные интегралы I рода
- •Геометрический смысл несобственного интеграла I рода
- •Примеры
- •Несобственные интегралы II рода
- •Вопрос 5
- •Вопрос 6
- •Связь с градиентом
- •Вопрос 7
- •Тейлора формула
- •Необходимые и достаточные условия экстремума функции нескольких (двух) переменных
- •Вопрос 8
- •Описание метода
- •Вопрос 9
- •Вопрос 10 Криволинейный интеграл
- •Вопрос 11
- •Вопрос 12
- •Вопрос 13
- •Поверхностный интеграл первого рода Определение
- •Параметрическая форма
- •Свойства
- •Поверхностный интеграл второго рода Определение
- •Связь между поверхностными интегралами второго и первого рода
- •Свойства
- •Вопрос 14
- •Вопрос 15
- •Вопрос 16 Примеры физических задач, приводящих к уравнениям с разделяющимися переменными Охлаждение тела
- •Вопрос 17
- •Вопрос 18
- •Вопрос 19
- •Вопрос 20
- •Уравнения с правой частью специального вида
Вопрос 12
Тройной интеграл и его свойства. Пусть - ограниченная замкнутая пространственная область, границей которой является кусочно-гладкая поверхность, и пусть функция определена и ограничена в . Посредством сетки кусочно-гладких поверхностей разобьем на конечное число элементарных областей с объемами (разбиение ). Пусть . наибольший из диаметров областей , получающийся при разбиении . В каждой из элементарных областей выберем произвольную точку . Число ставится в соответствие каждому разбиению и каждому выбору точек и называется интегральной суммой. Если существует и он не зависит от выбора разбиения и точек, то функция называется интегрируемой по Риману в области , а сам предел называется тройным интегралом от функции по области и обозначается . Свойства тройных интегралов такие же, как и у двойных интегралов.
Вычисление тройного интеграла в декартовых координатах. Пусть является цилиндрическим телом, проекция которого на плоскость есть область и которое ограничено снизу поверхностью , а сверху v поверхностью , где - непрерывные функции в . Тогда , то есть интегрированием по z тройной интеграл сводится к двойному интегралу по области . Для областей более сложной формы вычисление двойных и тройных интегралов производится разбиением областей на конечное число простых областей с уже рассмотренными свойствами.
Вычисление тройных интегралов с помощью повторного интегрирования.
1. Предположим, что функция f(x, y, z) непрерывна в рассматриваемой области T.
Пусть сначала T = [a, b; c, d; e, f] - прямоугольный параллелепипед, проектирующийся на плоскость yz в прямоугольник R = [c, d; e, f]. Тогда
Заменяя в (1) двойной интеграл повторным, получим
Вычисление тройного интеграла сводится к последовательному вычислению трёх определённых интегралов.
Если первые два интеграла в (2) объединить в двойной, то будем иметь
где P = [a, b; c, d] - проекция параллелепипеда T на плоскость xy.
Заметим, что в этих случаях можно менять роли переменных.
2. Пусть область T заключена между плоскостями x = a и x = b, причём каждое сечение области T плоскостью представляет собой квадрируемую фигуру G(x)(рис. 1). Тогда
3. Пусть теперь тело T представляет собой "цилиндрический брус", ограниченный снизу и сверху, соответственно, поверхностями z = z1(x, y) и z = z2(x, y), проектирующиеся на плоскость xy в некоторую квадрируемую фигуру G (рис.2), z1(x, y) и z2(x, y) - непрерывны в G. Тогда
Если G = {(x, y): a x b, y1(x) y y2(x)}, то
Отметим, что наряду с указанными формулами имеют место и им подобные, получающиеся перестановкой переменных x, y и z.
II. Замена переменных в тройном интеграле состоит в переходе от переменных x, y, z к новым переменным u, v, w по формулам
Если выполняются условия
1?. Отображение (6) взаимно однозначно;
2?. Функции в (6) непрерывно - дифференцируемы в области
3?. Якобиан отображения
то имеет место формула
Формулы (6) называют криволинейными координатами (u, v, w) в области T. Рассмотрим примеры криволинейных координат.
1. Цилиндрические координаты представляют соединение полярных координат в плоскости xy с обычной декартовой аппликатой z (рис. 3).
Пусть M(x, y, z) - произвольная точка в пространстве xyz, P - проекция точки M на плоскость xy. Точка M однозначно определяется тройкой чисел - полярные координаты точки P, z - аппликата точки M. Формулы, связывающие их с декартовыми, имеют вид
Якобиан отображения (8)
2. Сферические координаты. Пусть M(x, y) - произвольная точка в пространстве xyz, P - проекция точки M на плоскость xy. Точка M однозначно задаётся тройкой чисел , где r - расстояние точки M до точки 0, - угол между лучами OM и OZ, - полярный угол точки P на плоскости xy. Тройка чисел называется сферическими координатами точки M.
Они связаны с прямоугольными формулами
Якобиан отображения . Иногда используются обобщённые сферические координаты.
Объём V кубируемой области T (кубического тела) в пространстве xyz выражается формулой
Переходя в этом равенстве к новым переменным по формулам (6), получим выражение объёма области T в криволинейных координатах
Пусть T - материальное тело (кубируемая область) с плотностью
Тогда
- масса тела.