Вопрос 10 Криволинейный интеграл

Криволинейный интеграл, интеграл, взятый вдоль какой-либо кривой на плоскости или в пространстве. Различают К. и. 1-го и 2-го типов. К. и. 1-го типа возникает, например, при рассмотрении задачи о вычислении массы кривой переменной плотности; он обозначается через

,

где С — заданная кривая, ds — дифференциал её дуги, a f (P) — функция точки на кривой, и представляет собой предел соответствующих интегральных сумм (см. Интеграл). В случае плоской кривой С, заданной уравнением у = у (х), К. и. 1-го типа сводится к обыкновенному интегралу по формуле:

.

К. и. 2-го типа возникает, например, при рассмотрении задачи о работе силового поля; в случае плоской кривой С он имеет вид:

и является также пределом соответствующих интегральных сумм. К. и. 2-го типа сводится к обыкновенному интегралу по формуле:

,

где х = x (t), у = у (t) (a £ t £b) — уравнения кривой С в параметрической форме, и к К. и. 1-го типа по формуле:

;

здесь a — угол между осью Ox и касательной к кривой, направленной в сторону возрастания дуги.

 

Криволинейный интеграл введен для определения характеристик векторного поля, т.е он имеет именно физический смысл. У него нет наглядного геометрического смысла, как у определенного интеграла.

 

Криволинейный интеграл и его механический смысл.

X=x(t)Y=y(t) дифференцируемые.V(дуга) AoAnT=α Ao(x(α); y(α))T=β An(x(β); y(β))X=R costY=RsintПусть в каждой точке с координатами(х;у) действует сила F которая зависитот этой точки и имеет х-вую и у-вуюсоставляющую F(x;y)=P(x;y)i+Q(x;y)jA работа-?Разобъем дугу на н частей.T принадлежит [α;β]V AoA1,A1A2….An-1,AnЗначит что на [α;β][to;t1]=t*1[tn-1;tn]=t*nв каждой из полученных частейвыбираем точку.A*I (x(t*I);y(t*I))Составим суммуΣF*(x(t*I);y(t*I)) Ai-1.AiРассмотрим предел последовательноститаких сумм когда max [Ai-1;Ai] nстремится к бесконечLimΣF*(x(t*I);y(t*I)) Ai-1.AiЕсли этот предел существует,конечен ине зависит от способа деления дуги на nчастей и от выбора точек A*I внутрикаждой части то этот предел называетсякриволинейным интегралом по дугеAoAn от выражения ∫ F(x;y)dx+Q(x;y)dyF,Q – силыГеометрический смысл.Fdr, dr-перемещениеСкалярное произведение F(работа- это есть сила на перемещение)A=∫Fdr Это работа перемещение материальнойточки вдоль дуги AoAn под действиемсилы имеющей составляющей поля скоординатами P(x;y) Q(x;y)∫P(x;y)dx+Q(x;y)dy

Вопрос 11

Двойной интеграл в декартовых координатах. Пусть  ограниченная замкнутая область плоскости с кусочно-гладкой границей и пусть функция определена и ограничена на  . Посредством сетки кусочно-гладких кривых разобьем на конечное число элементарных областей с площадями (разбиение ). Пусть - наибольший из диаметров областей , получающийся при разбиении . В каждой из элементарных областей выберем произвольную точку . Число   называется интегральной суммой и ставится в соответствие каждому разбиению и каждому выбору точек . Если существует   и он не зависит от выбора разбиения  и точек , то функция называется интегрируемой по Риману в области , а сам предел называется двойным интегралом от функции  по области и обозначается    или   . Двойной интеграл существует, если  непрерывна на . Допустимы точки разрыва первого рода, лежащие на конечном числе гладких кривых в .

 

Свойства двойного интеграла. Свойства двойного интеграла аналогичны свойствам определенного интеграла:

Линейность:   . Аддитивность: , если S1 и S2 две области без общих внутренних точек.

Если для каждой точки  выполнено неравенство  , то .

Если  интегрируема на , то функция   также интегрируема, причем .

Если  и  наименьшее и наибольшее значения функции в области, а ее  площадь, то .

Теорема о среднем значении: если  непрерывна в связной области , то существует, по крайней мере, одна точка такая, что   .

Вычисление двойного интеграла.

Если  , где -   непрерывные на функции, то двойной интеграл может быть вычислен двумя последовательными интегрированиями: . Аналогично, если , то     .

 Пусть в некоторой области D на координатной плоскости XOY определена функция двух переменных z = f (x, y). Предполагается, что граница области D состоит из конечного числа кривых, заданных уравнениями вида y = f (x) или x = φ (y), где f (x) и φ (y) – непрерывные функции.

1. Разобьем область D на бесконечно малые ячейки прямыми, параллельными координатным осям.

2. В каждой ячейке выберем точку C_i,j(x_i, y_j).

3. Вычислим значения f (x_i, y_j) функции в этой точке.

4. Эти значения f (x_i, y_j)  умножим на площади ячеек, из которых бралась точка: f (x_i, y_j)·Δ x_i·Δ y_j.

5. Все эти произведения сложим:

.

Полученная сумма называется двойной интегральной суммой.

   Назовем диаметром d(D) области D наибольшее расстояние между точками этой области. Обозначим через λ наибольший из диаметров частичных областей D_i

.

   О п р е д е л е н и е. Двойным интегралом называется предел двойной интегральной суммы при условии стремления к нулю диаметров всех ячеек, если он существует и не зависит от способа разбиения области D, от способа выбора точек C_i,j (x_i, y_j) внутри каждой ячейки

.

В этом случае функция f (x, y) называется подынтегральной, D — областью интегрирования, x и y — переменными интегрирования, ds (или dx·dy) – элементом площади.    Мы предполагаем, что функция f (x, y) ограничена. Как и для функции одной переменной, это условие является необходимым условием интегрируемости. Однако оно не является достаточным, т.е. существуют ограниченные, но не интегрируемые функции. Примером таких функций является функция, определенная на квадрате

{ (x, y) | 0 ≤ x ≤ 1; 0 ≤ y ≤ 1}

следующим образом:

   Т е о р е м а 1. Функция f (x, y), непрерывная в замкнутой ограниченной области D, интегрируема в этой области.    Т е о р е м а 2. Функция f (x, y),ограниченная в замкнутой ограниченной области D и непрерывная в ней всюду, кроме точек, лежащих на конечном числе кривых, являющихся графиками непрерывных функций вида y = ψ(x) или x = φ (y), интегрируема в этой области.

Геометрический смысл двойного интеграла

   Пусть тело P в пространстве ограниченно сверху графиком непрерывной и неотрицательной функции z = f(x, y), определенной в области D, цилиндрической поверхностью, направляющей которой служит граница области D, а образующие параллельны оси Oz, и областью D, лежащей в плоскости Oxy. Тело такого вида называют криволинейным цилиндром (цилиндроидом).

Вычисление площади плоской фигуры двойным интегралом

   Если положить f (x, y) = 1 всюду в области D, то непосредственно из определения двойного интеграла получим выражение площади s области D в виде двойного интеграла:

Механический смысл двойного интеграла

   Если z = f (x, y) есть плотность распределения массы по плоскости, то двойной интеграл есть масса пластины.    Действительно, в этом случае f (x_i, y_j)·Δ x_i·Δ y_j — масса ячейки, — приближенная масса пластины. Предел приближенной массы пластины при условии измельчения ячеек — масса пластины.

Свойства двойных интегралов

1. Линейное свойство

.

2. Если функции f (x, y) и g(x, y) интегрируемы в области D, то их алгебраическая сумма также интегрируема в этой области и

3. Аддитивное свойство по области интегрирования

.

4. Теорема о среднем. Если функция f (x, y) непрерывна в области D, то в этой области найдется такая точка ( ξ; μ), что

,

где s — площадь фигуры D.