Вопрос 7

Производные высших порядков.

Рассмотрим функцию  , определенную на некотором промежутке  . Вычислим производную , которая также является функцией на . Производной второго порядка от функции называется производная от ее производной:   . Аналогично определяют производную любого порядка:  .

ПРИМЕР 1.  Вычисление производных высших порядков

Дифференциалы высших порядков.

Рассмотрим дифференциал функции в произвольной точке промежутка : . Здесь - приращение независимой переменной, которое является числом и не зависит от . Сам же дифференциал есть функция от , и можно вычислить дифференциал от этой функции:  При этот дифференциал от дифференциала называется дифференциалом второго порядка и вычисляется по формуле Аналогично вычисляется дифференциал любого порядка .

ПРИМЕР 2.  Вычисление дифференциалов высших порядков

Понятие инвариантности формы дифференциала.

Рассмотрим дифференциал функции в произвольной точке промежутка : . Здесь - приращение независимой переменной, которое является числом и не зависит от . Пусть теперь  - функция независимого переменного , определенная на промежутке . Тогда  - сложная функция переменного . Вычислим ее дифференциал, используя формулу для производной сложной функции: . Заметим, что и выражение для дифференциала принимает ту же форму , хотя здесь уже функция переменного  . Это свойство дифференциала первого порядка называется инвариантностью (т.е. неизменностью) его формы. При вычислении дифференциала второго порядка придется учитывать, что  - функция переменного  . Поэтому и форма второго (а также и всех следующих) дифференциала неинвариантна.

Тейлора формула

Тейлора формула, формула

 

изображающая функцию f (x), имеющую n-ю производную f ⁽ⁿ⁾(a) в точке х = а, в виде суммы многочлена степени n, расположенного по степеням х—а, и остаточного члена R_n (x), являющегося в окрестности точки а бесконечно малой более высокого порядка, чем (x—a) ⁿ [то есть R_n (x) = an (x)(x—a) ⁿ, где an (x) ® 0 при х ® а]. Если в интервале между а и х существует (n + 1)-я производная, то R_n (x)можно представить в видах:

,

где x и x₁ — какие-то точки указанного интервала (остаточный член Т. ф. в формах Лагранжа и соответственно Коши). График многочлена, входящего в Т. ф.. имеет в точке а соприкосновение не ниже n-го порядка с графиком функции f (x). Т. ф. применяют для исследования функций и для приближённых вычислений.

Необходимые и достаточные условия экстремума функции нескольких (двух) переменных

Рассмотрим функцию , где -- открытое множество.

Определение 1.   называется точкой максимума (минимума) функции , если

Аналогично если выполняется строгое неравенство, точка называется точкой строгого максимума (строгого минимума).

Теорема 1. (необходимое условие экстремума)   Если -- точка экстремума и существует , то .

Доказательство. Частную производную можно представить как производную функции одной переменной в точке . Для этой функции точка также является точкой экстремума. Тогда, по необходимому условию экстремума функции одной переменной .

Определение 2.   -- стационарная точка функции , если -- дифференцируема в этой точке и , или -- не дифференцируема в этой точке.

Замечание 1.   Квадратичная форма -- многочлен вида , -- положительно определена, если на положительных переменных она принимает положительные значения. Для квадратичных форм существует критерий Сильвестра: форма положительно определена, если все главные миноры ее матрицы положительны. Форма отрицательно определена, если положительно определена. Тогда главные миноры меняют знак, начиная с минуса.

Теорема 2. (достаточное условие экстремума)   Если дважды дифференцируема в стационарной точке , то -- точка минимума (максимума), если квадратичная форма положительно (отрицательно) определена. Если эта форма не определена, то экстремума в этой точке нет. Если она вырождена, то неизвестно, является ли точкой экстремума.

Доказательство. По формуле Тейлора приращение функции в точке можно записать в виде , поскольку, по необходимому условию экстремума, частные производные будут равны нулю. Перепишем выражение в виде , причем при . Заметим, что новые переменные изменяются на единичной сфере, т.к. . Кроме того, квадратичная форма непрерывна и по теореме Вейерштрасса на сфере принимает наименьшее значение, обозначим его . Пусть форма положительно определена. Тогда . Теперь благодаря тому, что при можно подобрать такое , что при выполнено , тогда выполнено в этой окрестности. Что и означает, что -- точка минимума. Для точки максимума доказательство аналогично.