Тема 3. Диэлектрические волноводы и оптоволоконные линии передачи.

Вопрос 1. Общие свойства диэлектрических волноводов

Диэлектрическими волноводами (ДВ) называют линии передачи, состоящие из двух и более диэлектрических тел (слоев) с раз­личными показателями преломления. Иногда такие линии переда­чи называют многослойными. Рассмотрим, например, плоскую диэлектрическую пластину с параметрами и помещенную в однородный диэлектрик с параметрами и (рис. 5.11), причем показатель преломления пластины больше показателя прелом­ления окружающего пространства (обычно воздуха). Пред­положим, что ширина пластины много больше ее толщины 2а. Тогда с достаточной степенью точности можно считать, что электромагнитное поле волн, распространяющихся в направлении оси z, не зависит от координаты у ( ).

Используем для качественного анализа электромагнитного поля в диэлектрической пластине концепцию парциальных волн. Пусть плоская однородная волна падает на границу раздела 1 под углом (рис. 5.11). Если этот угол больше угла полного внутреннего отражения, волна полностью отражается и под тем же углом падает на границу раздела 2, где процесс отражения повторяется. Таким образом, в пластине в направлении оси z распространяется быстрая волна, а в окружающей ее среде - медленная.

Рис. 5.11.

При этом выполняется условие

(5.40)

где и₁, и₂ — скорости света в пластине и окружающей среде; - фазовая скорость волны, одинаковая снаружи и внутри пластины. На границах раздела сред 1 и 2 касательные составляющие векторов Е и Н должны быть непрерывны. Необходимость выпо­лнения этих условий приводит, как и при распространении волны меж­ду двумя идеально проводящими плоскостями, к появле­нию зависимости угла отражения от частоты. По мере снижения частоты угол уменьшается. Когда он становится меньше , появляется преломленный луч и часть энергии волны из пластины излучается в окружающее пространство. Волна, распространя­ющаяся в пластине в направлении оси z, испытывает при этом затухание. Описанное явление называется явлением отсечки, а соответствующая равенству = частота f_c - частотой от­сечки. Используется также понятие критической длины волны которая определяется для второй среды. Как следует из изложенного, явления отсечки в диэлектрических и металличес­ких волноводах обусловлены различными механизмами и прояв­ляются по-разному.

Описанный механизм распространения волн справедлив и для диэлектрического волновода, представляющего собой стержень произвольного поперечного сечения, помещенный в среду с мень­шим показателем преломления. Для каждой из сред справедливо характеристическое уравнение

(5.41)

где , - волновые числа; - критические (поперечные) волновые числа в стержне и окружающей среде; - постоянная фазы, общая для обеих сред (потери не учитываем).

Из неравенства (5.40) следует, что . Следовательно, в выражении (5.41) значение должно быть положительным, а значение отрицательным, т. е. поперечное волновое число во второй среде имеет мнимое значение. Обозначим ; , где - действительное число. Тогда из равенств (5.41) получим

(5.42)

Введем безразмерные волновые числа , где а — характерный поперечный размер диэлектрического стержня, а также нормированные проницаемости и . Учитывая, что , преобразуем (5.42) следу­ющим образом:

(5.43)

где - нормированная частота. Соотношение (5.43) устанавливает связь между поперечными волновыми числами в первой и второй средах.

Другое, независимое уравнение, связывающее эти величины, можно получить, используя граничные условия, которые должны выполняться на контуре поперечного сечения диэлектрического стержня. Конкретный вид этого уравнения, называемого дисперсионным, определяется формой поперечного сечения стержня и типом волны. Совместное решение дисперсионного уравнениям уравнения (5.43) позволяет для заданной нормированной частоты R найти значения поперечных волновых чисел и , а следовательно, фазовую и групповую скорости волны. Действительно, из определения фазовой скорости следует

(5.44)

Подставив в эту формулу значение к₂ из (5.43), получим

(5.45)

Так как , из полученного равенства следует, что фазовая скорость волны в диэлектрическом волноводе не превышает скорость света в окружающей среде и₂. Кроме того, фазовая скорость зависит от частоты, т. е. волны в диэлектрическом волноводе обладают дисперсией. Для нахождения групповой скорости воспользуемся соот­ношением

(5.46)

где . Вычисление стоящих в правой части производных с учетом (5.42) и (5.43) позволяет получить следующую формулу:

(5.47)

где - крутизна квадратичной дисперсионной кривой , определяемой дисперсионным уравнением. Для вычисления фазовой и групповой скоростей можно использовать приближенные формулы

(5.48)