Вопрос 2. Уравнения Максвелла

Полная система уравнений Максвелла выглядит следующим образом:

Уравнения Максвелла в интегральной форме описывают электромагнитное поле в не­которых объёмах, ограниченных контурами и поверхностями интегрирования, а уравнения Максвелла в дифференциальной форме характеризуют поле в точках. Из уравнений следует, что электрическое и магнитное поля взаимосвязаны между собой и способны порождать друг друга. В частности, электрическое поле создает вокруг себя магнитное поле (рис.2.а), а всякое изменение магнитного поля сопровождается образованием электрического поля (рис.2.б). В целом изменение одного поля вызывает появление другого поля, в результате действует и существует суммарное электромагнитное поле (рис.2.в), переносящее энергию в атмосфере, кабелях, волноводах, световодах и любых других направляющих системах.

Рис.2.2.

Однако, в ряде случаев взаимной обусловленностью электрического и магнитного по­лей можно пренебречь. В соответствии с данным критерием среди всего многообразия элек­тромагнитных полей принято выделять ряд классов:

- статические поля – поля, создаваемые системами неподвижных зарядов, постоян­ных магнитов и постоянных токов в тех областях, где токи отсутствуют; в этом случае сис­тема уравнений Максвелла распадается на две подсистемы, каждая из которых содержит ли­бо электрические, либо магнитные величины:

- стационарное электромагнитное поле – поле, создаваемое системами неподвижных зарядов, постоянных магнитов и постоянных токов в тех областях, где токи существуют; отличие стационарного случая от статического состоит в том, что в анализируемой области пространства присутствуют постоянные токи; электрическое и магнитное поля можно считать независимыми в стационарном случае, если ток j = оЕ определяется как независящий от самого поля.

• квазистационарное электромагнитное поле – поле, источники которого представ­ляют собой относительно медленно меняющиеся во времени функции, таким образом, что пространственный период изменения поля оказывается существенно меньше, чем линейные размеры анализируемой области пространства. При этом описание электромагнитных явле­ний может быть осуществлено аналогично стационарному случаю;

• быстропеременные поля, для которых пространственный период изменения поля одного порядка или меньше размеров анализируемой области пространства; в этом случае целесообразно применение полной системы уравнений Максвелла

Особое место традиционно отводится монохроматическому электромагнитному полю, как практически важному случаю. На самом деле, практически любой сигнал, встречающийся в радиотехнике может быть представлен в виде суперпозиции монохроматических состав­ляющих. Монохроматическими называются процессы, изменяющиеся во времени по закону косинуса или синуса, описываемые соответственно скалярными и векторными функциями вида

(2.15)

При анализе таких процессов широко используется метод комплексных амплитуд, состоящий в формальной замене функции ψ на комплексное изображение, следующим образом , где - комплексная амплитуда. При этом очевидно, что . Комплексное представление векторных величин выглядит следующим образом

где - комплексная амплитуда

Поскольку уравнения Максвелла содержат только линейные операции, в случаях, в которых параметры среды не зависят от поля, формальная замена соответствующих вели­чин их комплексными изображениями не меняет вида этих уравнений (все линейные опе­рации могут проводиться раздельно над действительной и мнимыми частями комплексных величин).

Уравнения Максвелла для монохроматического поля выглядят следующим образом.

Первое уравнение Максвелла:

(2.16)

Группировка слагаемых в правой части позволяет выделить общий сомножитель

(2.17)

где - комплексная диэлектрическая проницаемость, учитывающая инерционность процессов имеющих место в веществе, связанных с воздействием электрического поля.

Аналогичным образом записывается второе уравнение Максвелла для монохромати­ческого поля:

(2.18)

Взятие операции дивергенции от обеих частей (2.16) и (2.18) позволяет легко показать, что третье и четвертое уравнения для монохроматического поля выводятся соответственно из первого и второго.

При записи уравнений Максвелла под вектором плотности тока проводимости подра­зумевается плотность тока, который возникает в проводящей среде под воздействием электрического поля. Однако, помимо это­го тока, в рассматриваемой области пространства могут существовать и такие токи, которые сами являются источниками возникновения в этой об­ласти электромагнитного поля, и, к то муже, они считаются известными. Эти токи принято называть сторонними. Аналогично вводятся сторонние заряды.

С учетом сторонних источников уравнения Максвелла в имеют вид: