§1. Магнитное поле вертикального стержня

Учитывая сказанное, рассмотрим поле вертикального стержня, верхний конец которого располагается на некоторой глубине h от поверхности Земли, а нижний отнесен в бесконечность таким образом что влиянием его отрицательной магнитной массы можно пренебречь (рис. 46). В этом случае поле вертикального стержня бесконечной длины можно рассматривать как поле точечного источника, (т.е. поле однополюсного магнита – монополя), создаваемого магнитной массой .

Рис. 46. К определению магнитного

поля стержня

Согласно закону Кулона, потенциал такой массы определится из выражения:

. (VII.7)

Из рис. 46 находим:

. (VII.8)

Подставляя (VII.8) в формулу (VII.7) и учитывая, что , получим выражение для потенциала V:

. (VII.9)

Значения z и H можно найти, если продифференцировать выра­жение для потенциала (VII.9) по h и x – соответственно:

; (VII.10)

. (VII.11)

Таким образом, выражения (VII.10) и (VII.11) полностью характеризуют напряженность магнитного поля, создаваемого вертикальным стержнем бесконечной длины, при условии, что вектор намагниченности I направлен вертикально вверх, т.е. вдоль магнитного меридиана.

Положив в формулах (VII.10) и (VII.11) h = const, можно, меняя x, построить графики магнитных аномалий z и H для точечной массы (рис. 46). В частности, при x = 0

; . (VII.12)

Таким образом, вертикальная составляющая достигает максимального значения над центром магнитного тела, где, в свою очередь, горизонтальная составляющая обращается в нуль.

Магнитное поле z стержня в плане имеет вид изометрической аномалии. Вектор H направлен к центру стержня (рис. 46).

§ 2. Магнитное поле шара

Рис. 47. К определению магнитного

поля шара

Рассмотрим вертикально намагниченный шар, центр которого располагается на глубине h (рис. 47). Потенциал шара можно представить в виде потенциала диполя, помещенного в центр шара. Потенциал диполя определяется из выражения (VII.4):

.

Подставляя сюда , , , получим выражение для потенциала шара:

(VII.13)

Дифференцируя V по h и по x, найдем вертикальную и горизонтальную составляющие магнитного поля шара:

; (VII.14)

. (VII.15)

Как и в случае вертикального стержня, максимум составляющей z будет при x = 0, т.е. над центром шара (рис. 47). По мере удаления от шара графики z и H на бесконечности ассимтотически стремятся к нулю снизу. В плане магнитное поле z шара имеет форму концентрических окружностей. Вектор напряженности H направлен к центру шара (рис. 47). В отличие от поля стержня бесконечной длины для поля шара характерно присутствие отрицательных значений z.

§3. Магнитное поле вертикального тонкого пласта

Рис. 48. К определению магнитного

поля тонкого пласта

Рассмотрим поле (вдоль оси x), создаваемое вертикально намагниченным тонким пластом бесконечной длины и мощностью l. Предположим, что l  h и пласт простирается в направлении оси y (рис. 48).

В этом случае влиянием магнитных масс, сосредоточенных на нижней кромке пласта, можно пренебречь и рассматривать лишь магнитные массы, сосредоточенные вдоль поверхностной кромки пласта в виде линейных полюсов.

Магнитная масса единицы длины dy будет равна:

. (VII.16)

Точка, лежащая на оси x, имеет координаты x, 0, R, точка N, лежащая на кромке пласта – 0, y, 0. Поэтому , и потенциал элементарного столба, вырезанного из данного пласта (рис. 48), будет равен:

. (VII.17)

Вертикальная z и горизонтальная H – составляющие этого элементарного столба – будут равны соответственно:

; (VII.18)

. (VII.19)

Для того чтобы найти значения z и H от всей пластины, необходимо полученные выражения проинтегрировать в бесконечных пределах:

; (VII.20)

. (VII.21)

Для решения этих интегралов воспользуемся подстановкой Эйлера:

; ; .

Тогда

; . (VII.22)

Подставим полученное выражение (VII.22) в (VII.20):

Учитывая, что , после подстановки в последний интеграл получаем:

.

Итак, для вертикальной составляющей z вертикального тонкого пласта имеем:

. (VII.23)

Решая аналогичным образом интеграл (VII.21), получаем выражение для горизонтальной составляющей H:

. (VII.24)

При x = 0, H = 0, , т.е. график z имеет максимум над центром пласта и ассимтотически стремится к нулю при удалении от кромки пласта (рис. 48).

График H имеет минимум под центром пласта и два смещенных экстремума – положительный и отрицательный с ассимтотическим стремлением к нулю вдали от кромки пласта (рис. 48).

Рис. 49. К определению магнитного поля пласта большой мощности

Поле изодиан z тонкого пласта имеет изометрическую, вытянутую вдоль простирания пласта форму. Вектор H направлен к осевой линии пласта.