Глава IX. Основы лучевой теории распространения сейсмических волн

§1. Условия применимости лучевого приближения

Рассмотренные выше основы волновой теории распространения упругих колебаний в земной коре дают полную и точную картину формирования сейсмических полей в слоистых средах. Однако, используя только эту теорию, трудно, а часто и просто невозможно получить сведения о кинематике волн, т.е. о временах их пробега и скоростях распространения в различных слоях. Существует тесная зависимость скорости от плотности и, следовательно, от литологии горных пород.

Получить эти параметры можно, используя принципы геометрической сейсмики, т.е. лучевое приближение. Согласно принципу Гюйгенса, траектории лучей всюду перпендикулярны к фронту волны. Следовательно, в однородной среде эти лучи будут представлять собой прямые линии, в неоднородной среде они будут искривлены. Согласно принципу Ферма, волны распространяются вдоль траекторий, требующих наименьшего времени для их прохождения. Этим объясняется прямолинейность траекторий лучей в однородных изотропных средах и их искривление в неоднородных средах.

Применение лучевого приближения в сейсмометрии возможно лишь при соблюдении следующих условий.

1. Радиус кривизны лучей не должен быть больше длины волны.

2. Коэффициенты отражения и преломления существенно не меняются в пределах длины волны.

3. Изменение амплитуды сигнала и условий на границах раздела слоев должно быть мало в пределах длины волны.

4. Линейные размеры неровностей границ сред (шероховатость границы) должны быть меньше длины волны.

В практике сейсмометрии, имеющей дело с инфразвуковыми частотами 10 – 100 Гц, оперируют обычно большими длинами волн, исчисляемыми десятками и сотнями метров, в сравнении с которыми встречающиеся обычно размеры неоднородностей на границах оказываются значительно меньше длин волн. На высоких звуковых частотах соблюдение указанных условий значительно затруднено. Однако и здесь принципы лучевой теории находят применение.

Отражение и преломление лучей на границах раздела подчиняются следующим основным законам.

1. Угол падения равен углу отражения.

2. Угол падения волны  и ее скорость в верхней среде с₁ пропорциональны углу преломления  и скорости волны в нижележащей среде с₂:

.

Используя принципы геометрической сейсмики, можно получать графики зависимости времени прихода волн, отраженных или преломленных на различных границах раздела внутри земной коры, от расстояния, отсчитываемого от пункта взрыва:

t = f(x)

и по ним рассчитывать скорости этих волн. Такие графики (см. рис. 62) называются годографами. В зависимости от типа волн годографы называются годографами прямых, отраженных, преломленных, рефрагированных или головных волн. Их изучению и посвящены следующие параграфы настоящей главы.

§2. Годограф отраженной волны

При работах по методу глубинного сейсмического зондирования (ГСЗ) регистрируются три основные группы волн (рис. 62) отраженные, преломленные (головные) и рефрагированные.

Рассмотрим вначале характер распространения сейсмических волн в слоистой среде.

Рис. 62. Годографы отраженной (1), преломленной (2)

и рефрагированной (3) волн

Пусть скорость звука увеличивается с глубиной по линейному закону:

, (IX.1)

где c₀ – некоторое постоянное значение скорости звука, измеренное в приповерхностном слое осадков на глубине h₀; c₁ – на глубине h₁. Тогда отношение

(IX.2)

будет определять величину вертикального градиента скорости звука в воде. С учетом (IX.2) величина a в выражении (IX.1) будет равна

. (IX.3)

Если разбить градиентный слой на бесконечное множество тонких слоев, то на границе каждого из них падающий луч испытывает преломление согласно известному закону:

. (IX.4)

Время пробега вдоль луча OMX₀ определится из выражения

. (IX.5)

В среднем

,

следовательно,

. (IX.6)

Из рис. 63 найдем x₀, тогда:

. (IX.7)

Это и есть уравнение годографа отраженной от поверхности слоя волны. Годограф представляет собой гиперболу, минимум которой совпадает с началом координат (x = 0). Таким образом, годограф характеризует зависимость времени прихода отраженной (в данном случае) волны от расстояния. При падении волны на наклонную поверхность слоя из рис. 63 имеем:

. (IX.8)

Здесь .

Подставим эти значения в (IX.8):

. (IX.9)

Это есть уравнение годографа волны, отраженной от наклонной поверхности слоя. При =0 уравнение (IX.9) превращается в уравнение (IX.7). Найдем экстремальные значения годографа.

В точке x = 0:

. (IX.10)

В точке минимума годографа, который смещен по восстанию дна, имеем:

. (IX.11)

Чтобы определить скорость отраженной волны, ось x и ветви годографа делят на равные отрезки m и по угловому коэффициенту определяют значение c₀:

(IX.12)

Используя полученное значение c₀, по формулам (IX.11) нетрудно определить глубину H до слоя.

Годограф отраженной волны обладает следующими свойствами.

1. Каждый из лучей выходит из начала координат, симметричен относительно вертикальной прямой, что проходит через его вершину.

2. Годографы из любого пункта взрыва, отходящие в противоположные стороны, симметричны относительно прямой, проходящей через пункт взрыва вертикально.

Если эти признаки не соблюдаются, то среда вертикально неоднородна.