Определение граничной скорости

Рис. 65. Система встречных

годографов преломленных волн

Рассмотрим способы интерпретации системы встречных годографов, полученных в случае произвольного наклона границы раздела (однослойная среда) (рис. 65).

Найдем разностный годограф t_p: , где T – время во взаимных точках годографа, – прямой и обратный годографы. Очевидно . Зная t₀(x), можно по формуле (IX.23) определить глубину преломляющей границы вдоль профиля x.

Величина T=const, поэтому производная . Отсюда

или

,

учитывая, что , получим:

.

Но , следовательно, при   10, cos   1, т.е. ,

или

. (IX.31)

Таким образом, двойной тангенс угла наклона разностного годографа равен граничной скорости в среде распространения головной преломленной волны. Зная скорость в покрывающей толще и скорость в преломляющем слое, нетрудно построить границу раздела.

§4. Годограф рефрагированной волны

Рис. 66. Годограф рефрагированной

волны

Рефрагированная волна образуется при прохождении луча под границу раздела по криволинейной, выпуклой книзу траектории (рис. 62).

Найдем кривизну луча и определим ее связь с градиентом скорости. Из рис. 66 находим кривизну k (Облогина, 1968):

. (IX.32)

Изменение угла di ищем из закона преломления:

. (IX.33)

Так как угол i мал, то cos di  1, sin di  di; и . Преобразуем (IX.33) пользуясь получен­ным выражением: . Отсюда

; . (IX.34)

Подставим (IX.34) в (IX.32):

. (IX.35)

Обозначим:

, (IX.36)

и, учитывая, что , окончательно получим выражение кривизны k

. (IX.37)

Формула (IX.37) связывает кривизну рефрагированного луча с градиентом скорости. Анализ ее показывает:

1) чем больше градиент скорости в геологической среде, тем больше кривизна луча k;

2) лучи имеют постоянную кривизну, т.е. дуги окружности, если скорость изменяется по линейному закону.

В самом деле, если

, (IX.38)

то

; . (IX.39)

При c = const k = const;

3) луч обращен выпуклостью книзу, если grad c положителен, т.е. скорость с глубиной возрастает. Если же скорость убывает, то луч из выпуклого становится вогнутым, т.е. имеет точку перегиба;

4) чем больше угол i выхода луча из источника, тем больше его кривизна.

Найдем уравнение рефрагированного луча. Из рис. 66 находим:

; ; (IX.40)

. (IX.41)

Введем согласно (IX.36) параметр p:

, (IX.42)

где с* – кажущаяся скорость. Следовательно,

sini = pc(z). (IX.43)

Так как , то выражение (IX.41) можно переписать в виде:

. (IX.44)

Мы получили интегральное уравнение рефрагированного луча. Найдем время пробега луча, т.е. годограф рефрагированной волны:

, (IX.45)

Из рис. 66 находим:

. (IX.46)

В итоге получаем интегральное выражение для годографа:

. (IX.47)

Теперь надо решить оба полученные уравнения (IX.43) и (IX.47). Зададимся линейным законом изменения скорости с глубиной (IX.38). Для решения уравнения (IX.44) воспользуемся простой формулой:

;

После подстановки пределов получим:

.

Возведем в квадрат обе части полученного уравнения и после простых преобразований получим:

. (IX.48)

Это уравнение окружности с координатами центра , лежащего на прямой, параллельной оси x, и радиусом R, равным:

. (IX.49)

Таким образом, при линейном возрастании скорости с глубиной рефрагированная волна распространяется по окружности, центр которой расположен на прямой , параллельной оси x (рис. 66).

Оценим z_max – глубину проникновения луча при данном законе изменения скорости:

, (IX.50)

. (IX.51)

Из (IX.51) найдем: . Так как

,

то после подстановки полученного выражения в (IX.46) получим:

. (IX.52)

Формула (IX.52) позволяет определить глубину проникновения луча рефрагированной волны при линейном возрастании скорости с глубиной. Максимальное значение скорости на глубине z_max определим из выражения:

, (IX.53)

где градиент скорости  равен:

. (IX.54)

Анализируя полученное выражение для z_max, видим, что глубинность всегда зависит от базы наблюдения (взрыв-прибор), т.е. расстояния x. Чем больше это расстояние, тем глубже сейсмическая рефрагированная волна проходит в земную кору. Количественный анализ этой формулы и ее значение для понимания сейсмических данных ГСЗ по результатам исследования в океане будут даны в следующем параграфе.

Теперь обратимся к годографу рефрагированной волны (IX.47):

.

Решение этого интеграла требует громоздких вычислений, поэтому воспользуемся более простым методом, предложенным Т. И. Облогиной (1968). Кажущаяся скорость c* в точке выхода луча на земную поверхность равна истинной скорости в вершине луча, т.е.

. (IX.55)

Следовательно,

. (IX.56)

Отсюда уравнение годографа будет:

. (IX.57)

Поскольку c(z_max), как нам известно (IX.53), то:

. (IX.58)

Это табличный интеграл вида . Поэтому

Но натуральный логарифм полученного выражения есть гиперболический синус:

.

Следовательно

. (IX.59)

Это и есть уравнение годографа рефрагированной волны для линейного закона изменения скорости. Лучи и годографы показаны на рис. 62. При других законах изменения скорости с глубиной годограф будет иметь иной вид.

Каждую точку годографа рефрагированной волны можно рассматривать как точку вступления фиктивной головной волны. Поэтому О.К. Кондратьев предложил рассчитывать глубину проникновения луча по формуле

, (IX.60)

где t₀ – время, определяемое по годографу (рис. 66), с₀ – средняя скорость в толще, где проходит луч; .

В соответствии с этим можно определить по точке излома годографа или по начальной точке ; или как среднее арифметическое из этих выражений:

. (IX.61)

Скорость в точке максимального проникновения луча, как было показано выше, равна кажущейся скорости, т.е.

. (IX.62)

Глубина H определяется по формуле:

. (IX.63)

Более точная оценка глубины проникновения рефрагированной волны может быть проведена по формуле Гертглотца-Вихерта, преобразованной в 1934 г. С. В. Чибисовым для целей сейсморазведки:

. (IX.64)

где x_нач <  <x – точки разбиения профиля x на участки , в пределах которых функция с*(x) минимальна. Для определения кажущейся скорости с* годограф рефрагированной волны осредняется плавной кривой и затем графически дифференцируется.

Вычисления можно проводить по формуле прямоугольников:

, (IX.65)

где

. (IX.66)

Для случая линейной зависимости ;

, (IX.67)

где , до границы раздела . Годограф рассматривается как интегральная функция. Формула (IX.67) позволяет оценить длину годографа (x), необходимую, например, чтобы достичь границы Мохоровичича (подошвы земной коры).

При z_max = 40 км, с*(x)=8,1 км/с, x= 132 км.

Таким образом, для определения мощности земной коры в океане, сравнимой с мощностью коры континентов, включающей слой воды, осадков, базальтов и низов коры с соответствующими скоростями упругих продольных волн c₁ = 1,5 км/с, с₂ = 2,0 км/с, с₃ = 5,0 км/с, с₄ = 6,5 км/с, и на границе Мохоровичича c*(x) = 8,1 км/с, длина годографа, при которой начинается регистрация рефрагированных волн от подошвы земной коры, должна быть не менее 132 км (см. рис. 67).

Рис. 67. Эмпирически установленная по данным 268 годографов

(1950 – 1979 гг.) зависимость глубины сейсмозондирования от длины

профиля и сравнение ее с теоретической кривой (1) (по Орлёнку, 1985)

Рис. 68. К определению кривизны луча