- •Постоянный ток
- •§ 1.1. Законы Кирхгофа.
- •§ 1.2. Примеры использования законов Кирхгофа
- •§ 1.3. Матрично-топологический метод
- •§ 1.4. Метод контурных токов
- •§ 1.5 Баланс мощностей
- •§ 1.6. Метод контурных токов на основе матрично–топологического подхода
- •§ 1.7. Метод узловых потенциалов
- •§ 1.8. Метод узловых потенциалов на основе матрично-топологического метода
- •§ 1.9. Метод эквивалентных преобразований
- •§ 1.10. Преобразование треугольника в звезду и звезды в треугольник
- •§ 1.11. Метод эквивалентного генератора
- •§ 1.12. Метод наложения (метод суперпозиции).
- •§2 Переменный ток
- •§2.1. Синусоидальные ток и напряжение. Символический метод
- •Немного о комплексных числах
- •Показания приборов
- •Векторные диаграммы – фазовые соотношения между величинами
- •Мощность в цепи переменного тока
- •Ргр №2 Расчет линейной цепи синусоидального тока
- •Трехфазные цепи
- •Метод симметричных составляющих
- •Переходные процессы Переходные процессы в простейших цепях
- •Кассический метод расчета переходного процесса Первый и второй законы коммутации, Понятия о зависимых и независимых начальные условиях
- •Метод расчета переходных процессов в цепи переменный тока
- •Переходные процессы в цепи второго порядка
- •Операторный метод расчёта переходных процессов
- •Метод пространство состояний
- •Ргр №3 расчет переходных процессов в линейных цепях Цепь I-го порядка
- •Цепь II-го порядка
- •Схемы цепей I-го порядка
- •Схемы цепей II-го порядка
- •Формулы для определения напряжения и тока в любой точке линии через комплексы тока и напряжения в начале линии
- •Формулы для определения напряжения и тока в любой точке линии через комплексы напряжения и тока в конце линии
- •Линии без потерь
- •Коэффициент отражения
- •Действующие значения напряжения и тока вдоль линии без потерь
- •Стоячие волны
- •Входное сопротивление линии без потерь при холостом ходе
- •Аналогия между уравнениями линии с распределенными параметрами и уравнениями четырехполюсника
Метод расчета переходных процессов в цепи переменный тока
Для расчета переходный процессов в цепи переменного тока используют символический метод
Пример: Определить ток источника напряжения если
Р ешение: Находим индуктивное сопротивление и комплекс напряжения .
Ищем решение в виде
1. Определяем принужденную составляющую в цепи после коммутации, используя символический метод
Определяем мгновенное значение принужденного тока
2. Определяем корень характеристического уравнения
3. Определяем независимые независимые начальные условия используя символический метод.
О пределяем зависимые начальные условия в схеме после коммутации, заменяя индуктивность источником тока равным .
Определяем константу интегрирования
Записываем решение и строим график.
Строим зависимость в пределах одного периода
|
Переходные процессы в цепи второго порядка
Рассмотрим цепь второго порядка представленную на рисунке с параметрами:
Записываем уравнения по второму закону Кирхгофа, в результате получаем систему дифференциальных уравнений:
(1)
Решение данного уравнения будем искать в виде суммы двух составляющих:
. (2)
Первое слагаемое это свободная составляющая. Она зависит только от параметров схемы, а также от начальных и конечных запасов энергии. Эта составляющая решения не зависит от формы воздействующего напряжения.
Второе слагаемое это принуждённая составляющая. Она зависит от внешнего воздействия и имеет форму этого воздействия. Очевидно, что в нашем случае она определяется как .
Постоянные интегрирования определяются из начальных условий, отражающих невозможность мгновенного изменения начальных запасов энергии в конденсаторе и в катушке.
Для определения констант интегрирования используем независимые начальные условия .
(3)
Откуда следует, что
(4)
Теперь можно записать окончательное решение
Определим корни характеристического уравнения входящие в решение через входное сопротивление схемы.
(5)
В результате решения уравнения получаются корни:
(6)
Где – показатель затухания контура, – угловая частота незатухающих колебаний, – частота свободных колебаний,
Корни уравнения определяются параметрами цепи и могут принимать следующие возможные значения.
Дискриминант равен нулю. Кони вещественные, отрицательные и кратные. Критический режим
.
Дискриминант положительный. Корни вещественные отрицательные и неравные. Апериодический режим
.
Дискриминант отрицательный. Корни комплексно-сопряжённые, с отрицательной вещественной частью. Колебательный режим
С оответствующее расположение корней указанно на комплексной плоскости.
Операторный метод расчёта переходных процессов
Операторный метод (преобразование Лапласа) расчета переходных процессов используется для того, чтобы обыкновенные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами (в пространстве оригиналов) преобразовать в алгебраические (в пространстве изображений). Очевидно, что алгебраические уравнения решаются проще. После решения алгебраического уравнения над полученной функцией (изображением) производится обратное преобразование Лапласа, получается оригинал. Полученный оригинал – это функция, которая и будет решением дифференциального уравнения.
Любой функции можно сопоставить её преобразование Лапласа
(1)
здесь – изображение, – оригинал. Выражение (1) записывают ещё и в операторной форме .
Приведём изображение нескольких часто встречающихся функций.
Определим изображение константы – :
Найдем изображение экспоненциальной функции – :
Изображение экспоненциальной функции поможет нам найти изображения синусоидальной косинусной функций– . Для этого запишем эти функции через формулу Эйлера. Далее осуществляем следующую цепочку преобразований:
Определим изображение производной функции , имеющей изображение
И, наконец, определим изображение интегрального выражения
таблица преобразований лапласса
-
-оригинал
-изображение
1
Вернёмся теперь к переходным процессам.
Итак, мы будем сопоставлять каждой функции его изображение. Например . С учётом полученной таблицы можно сопоставить каждому элементу его изображение:
Заметим, что для того, что бы построить изображение схемы, нужны независимые начальные условия .
После того как построена схема изображений, в пространстве изображений находятся желаемые токи и напряжения с использованием известных методов расчета (МКирхгофа, МУП, МКТ и т.д.). Для перехода к оригиналу (к временной зависимости) необходимо использовать теорему разложения:
где pk – корни уравнения
где pk – корни уравнения
Пример: Определить ток источника напряжения если .
1. Ищем независимые начальные условия
2. Рисуем операторную схему замещения после коммутации и находим изображение тока
,
где .
Находим корень знаменателя и его производную ,
Для определения оригинала используем теорему разложения
Интеграл Дюамеля
Полный ток в момент t получаем, если просуммируем все частичные токи от отдельных скачков и прибавим их к току :
Число членов суммы равно числу ступенек напряжения. Очевидно, что ступенчатая кривая тем лучше заменяет плавную кривую, чем больше число ступенек. С этой целью заменим конечный интервал времени на бесконечно малый и перейдем от суммы к интегралу:
или Пример:
Находим переходную проводимость i(t) :
Ищем решения в виде:
Находим ток на первом интервале i(t) 0 < t < :
Находим ток на втором интервале i(t) t1 < t < ∞ :
|