§ 1.4. Метод контурных токов
Прежде чем продолжить рассмотрение
матрично–топологического метода,
рассмотрим метод контурных токов. Суть
метода заключается в уменьшении
размерности матрицы СЛАУ для определения
токов. Рассмотрим, например, схему,
приведённую на рисунке 7 примера 1.
Выберем произвольное направление токов
в ветвях. Будем считать, что в первом
контуре течёт только ток
и будем называть его контурным током.
Аналогично во втором контуре, полагаем,
что течёт ток
И, наконец, в третьем контуре полагаем,
что течёт ток
Составляем уравнения для контурных
токов по второму закон Кирхгофа:
. (19)
При составлении уравнений учтено, что в смежных ветвях протекают два контурных тока, направленных навстречу друг другу. Подставляем числовые значения сопротивлений и ЭДС в СЛАУ и получаем решения:
(20)
Теперь можно найти токи в ветвях, используя их связь с контурными:
(21)
§ 1.5 Баланс мощностей
При составлении СЛАУ можно сделать ошибку, например, пропустить в нужном месте знак минус, и, как следствие, получить неправильное значение токов. Для проверки числовых значений токов обычно составляют баланс мощностей источников энергии– ЭДС и потребителей–сопротивлений. Это закон сохранения энергии – сколько энергии было выделено источниками – столько же должно быть потреблено приёмниками. Определим мощность источников и мощность приёмников для нашей схемы.
Мощность источников энергии:
(22)
Мощность потребителей энергии:
(23)
Баланс сошелся, следовательно, все токи найдены правильно.
§ 1.6. Метод контурных токов на основе матрично–топологического подхода
Теперь решим эту задачу примера-1 матрично–топологическим методом. Для этого нам нужны матрица контуров и диагональная матрица сопротивлений:
(24)
Записываем произведение матриц:
,
(25)
находим контурные токи, а затем и токи в ветвях:
.
(26)
.
(27)
Проверим результат решения проделав виртуальную лабораторную работу с помощью программы Electronics Workbench. Измерим токи в ветвях, подключив амперметры последовательно с сопротивлениями.
Схема собранная в Electronics Workbench.
§ 1.7. Метод узловых потенциалов
|
Рассмотрим еще один метом понижения
порядка СЛАУ. Прежде всего, обозначим
все узлы на схеме. Затем выбираем базовый
узел (см. выше). Пусть это буден узел–4.
То есть потенциал узла 4 равен нулю
Для определения потенциалов остальных
узлов составляем уравнения. Сумма
проводимостей ветвей, подходящих к
узлу, называется собственной проводимостью
узла. Например, для узлов 1,2 и 3 это
будет соответственно:
, (28)
или в матричном виде:
,
(29)
а
–
столбцевая матрица правых частей
. (30)
Решая систему уравнений (29), получаем потенциалы узлов:
(31)
И, наконец, находим токи во всех ветвях:
(32)
Лекция № 3
§ 1.8. Метод узловых потенциалов на основе матрично-топологического метода
Решим задачу примера-1 матрично-топологическим методом. Прежде всего, запишем узловую топологическую матрицу учитывая, что базовым узлом является узел – 4:
(33)
Теперь нам понадобится диагональная матрица проводимостей, которая равна обратной диагональной матрице сопротивлений и матрица ЭДС.
(34)
Приведём произведение матриц результат которого будет матрица проводимостей.:
(35)
Следующим шагом будет произведение матриц:
(36)
Теперь можно найти потенциалы узлов, используя следующие соотношения:
(37)
При известных потенциалах узлов находим напряжение на каждой ветви:
(38)
И, наконец, находим токи во всех ветвях:
(39)
Можно проверить баланс мощностей и убедиться, что расчет сделан правильно:
Проверим наши данные, проделав виртуальную лабораторную работу в Electronics–Workbench. Подключив параллельно сопротивлениям вольтметры можно определить напряжения. Разделив показание вольтметра на сопротивление можно найти ток в ветви.
Схема собранная в Electronics Workbench.
Лекция № 4