1.6.6. Аксиоматическое определение вероятности

Пусть задано измеримое пространство (Ω, F). В нем Ω – пространство эл. событий, F – некоторая σ-алгебра событий (множества из F считаются событиями и только они).

Определение. Вероятностью события А из σ-алгебры F называется вещественная функция, определенная на F и удовлетворяющая следующим свойствам (аксиомам):

А1. Р (А) ≥ 0 А F – аксиома неотрицательности;

А2. Р (Ω) = 1 – аксиома нормированности;

А3. Если последовательность событий такова, что то P( )= – аксиома аддитивности сложения.

С точки зрения теории меры задание вероятности на F – задание конечной меры на измеримом пространстве (Ω,F): неотрицательной, счетно–аддитивной функции (свойства А1 и А3), но с дополнительным условием на нее: Р(Ω)=1. Вероятность, заданную на σ–алгебре F, называют вероятностной мерой. Тройка объектов называется вероятностным пространством. В нем Ω – пространство эл. событий, F – σ–алгебра событий и P – вероятностная мера на измеримом пространстве (Ω, F).

В таком виде аксиоматика теории вероятностей была сформулирована А. Н. Колмогоровым и получила международное признание (до нее была известна, например, система аксиом С.Н.Бернштейна, не получившая распространения). Как всякая система аксиом она не единственна. Вместо аксиомы А3 можно ввести следующие два утверждения: : если события попарно несовместны, то ; А4: Пусть последовательность событий А₁, А₂,… такова, что , n ≥ 1, и .

Тогда Р(А)= = – аксиома непрерывности (почему такое название?).

Полученная система из 4 аксиом будет эквивалентна исходной (доказательство см. в [1], стр. 28).

Из аксиом и А4 с использованием формул де Моргана можно получить еще одну аксиому непрерывности: : пусть последовательность событий {A_n} такова, что n ≥ 1, . Тогда P(А)= .

Далее везде мы будем пользоваться исходной системой аксиом А1÷А3, но часто использовать свойства А4, , которые из нее можно получить.

Свойства вероятности.

Р1. Р(Ø) = 0.

Результат получается из равенства Ø+Ω=Ω и аксиом А2, А3.

Р2. Р(Ā)=1 – Р (А).

Действительно, Ω = А+Ā, А∩Ā = Ø, далее аксиомы А2, А3.

Р3. Если А В, то Р(А) ≤ Р (В).

Этот результат следует из того, что В=А+ĀВ. Так как А∩ĀВ = Ø, то с применением аксиом А2, А3 получаем . Отсюда, согласно аксиоме А1, имеем Р(В) ≥ Р(А).

Следствие. Из приведенных выше рассуждений следует, что если А В, то Р(В–А)=Р(В) –Р(А).

Р4. P(А) ≤ 1.

Результат следует из свойства Р3 и аксиомы А2.

Следствие. Для всех 0 ≤ Р (А) ≤ 1. Результат следует из соотношения Ø А Ω , свойства Р4 и аксиомы А1.

Р5. – формула сложения вероятностей.

Действительно, событие АUB = A+(B–A), B=(B–A) + AB; слагаемые в правых частях обоих равенств несовместные события, следовательно, с учетом аксиомы А3 для вероятностей событий АUB и B имеем: и

Но тогда

Р6.

Результат является следствием свойства Р5 и аксиомы А1.

Р7. Р( )= .

Результат является обобщением свойства Р5 на случай конечного числа слагаемых, формула может быть доказана методом математической индукции, что и предлагается выполнить самостоятельно. Если же , i≠j, тогда Р( ) = P(A_k).

Р8.

Этот результат не столь очевиден, как свойство Р6, являющееся следствием свойства Р5. Приведем доказательство утверждения. Введем в рассмотрение события , n ≥ 2, . События A_nВ_n несовместны при n ≥ 2 и ;  A_n , равенство имеет место, если Тогда = = ≤ .

Р9. Если {A_n} монотонная последовательность событий и то Это аксиомы непрерывности, сформулированные ранее.

Замечание 1. Как видим, в основу аксиоматического определения вероятности легли те свойства вероятности, которые имеют место для всех определений вероятности.

Любая вещественная функция, удовлетворяющая условиям аксиом А1–А3, может быть названа вероятностью событий.

Это определение не связано с вероятностями элементарных исходов.

Замечание 2. Аксиоматическое определение не дает способа построения вероятности события, то есть оно не является конструктивным. Однако, аксиоматическое определение, интерпретирующее вероятность как вероятностную меру, позволяет конструировать на множествах вещественных n-мерных пространств, , вероятности событий типа {случайная n-мерная точка X принадлежит множеству B из B( )} . Подробно об этом речь пойдет в гл. П.

Полученные свойства вероятностей используются при вычислении вероятностей событий.

Пример 27. Четыре поздравительных открытки случайно расположены по 4 конвертам с адресами. Найти вероятность того, что хотя бы одна открытка попала в свой конверт – событие A.

Эта задача является частным случаем задачи о совпадениях: на отдельных карточках написаны номера от 1 до n. Карточки располагаются в случайном порядке. Какова вероятность того, что хотя бы для одной карточки ее номер совпадет с порядковым номером в выборке – событие A.

Решение. Введем обозначения: событие А – карточка с номером к окажется на к-м месте. Тогда событие А= , Р(А)=Р( ). Далее воспользуемся свойством Р7: Р( )= . Вычислим вероятности событий под знаками сумм: , и т.д., исходя из соображений, что если к-я карточка заняла в выборке к-ое место, то оставшиеся n–1 карточек могут разместиться по оставшимся n–1 местам произвольным образом; если карточки с номерами i и k заняли в выборке свои места, то оставшиеся n–2 карточки могут разместиться по оставшимся n–2 местам произвольным образом и т.д. Кроме того, мы должны учесть, что к-ая карточка – это одна из n карточек, т.е. в выборке она может занять любое из n мест, пары чисел i и k могут разместиться в выборке по различным местам в ней, число таких размещений равно и т.д. Тогда

Р (А)=С –С +…+(–1) =1– + –…+(–1) .

Искомая сумма есть частичная сумма ряда Тейлора для функции при х= –1. Поэтому при достаточно больших n вероятность .

В примере 27 (n=4) Р (А)=1– .