1.6. Вероятность событий

1.6.1. Классическое определение вероятностей

Ранее мы отметили, что ТВ изучает закономерности, возникающие при многократном воспроизведении опытов. Одной из числовых характеристик таких закономерностей призвана служить вероятность событий (в том числе элементарных), связанных с данным опытом. Есть несколько определений вероятностей событий, начнем с исторически первого, классической вероятности.

Пусть Ω конечно и содержит n элементов ω₁, ω₂,…ω_n, то есть Ω – дискретное множество. Будем полагать, что все исходы равновозможны. Это понятие в ТВ также первично, оно связано с симметрией проводимого опыта, когда ни один из исходов опыта не имеет никаких преимуществ в появлении перед остальными. Например, во втором опыте нет оснований предпочесть выпадение герба «решке» и наоборот, если монета симметрична, однородна.

Пусть A – некоторое событие, следовательно, оно состоит из некоторого числа m элементарных исходов , где – неравные между собой числа, принимающие значения от 1 до n. Вероятностью события A называется число:

Р(А) = (1.1)

Это и есть классическое определение вероятности события А.

В случае конечного множества Ω σ–алгебра F состоит из всех подмножеств множества Ω. По определению вероятности события и учитывая тот факт, что эл. события – это также события, получаем Таким образом, все эл. события равновероятны.

Пример 10. Пусть в первом опыте событие A={выпадение не менее 5 очков}. Вычислить вероятность события А.

Решение. Событию A среди эл. событий благоприятствуют два эл. события (содержатся в событии А), это события ω₅ и ω₆, то есть m = 2. Тогда по формуле (1.1)

Пример 11. Пусть в третьем опыте событие A={выпадение не менее одного герба}. Вычислить вероятность события А.

Решение. В событие A входят эл. события ω₁, ω₃, ω₄, то есть m=3. Тогда Р(А)=3/4.

Как видим, классическое определение вероятностей есть конструктивное определение – оно не только определяет вероятность события, но и позволяет вычислять ее.

Можно отметить некоторые свойства вероятности, вытекающие из классического определения.

1. .

Для невозможного события нет благоприятных элементарных исходов, m=0;

2. .

Достоверному событию благоприятствуют все элементарные исходы, m = n.

3. .

Так как , то ;

4. .

Если событию A благоприятствуют m элементарных событий из n, то дополнительному событию благоприятствуют оставшиеся n–m элементарных событий. Тогда .

5. Для попарно несовместных событий вероятность суммы событий равна сумме их вероятностей: .

Рассмотрим сначала два события . Среди n элементарных исходов событию благоприятствуют исходов, событию – исходов. Тогда несовместным событиям и благоприятствуют + элементарных исходов, следовательно, событию + также благоприятствуют + исходов. .

Общая формула основывается на рассмотренном случае, так как сумму любого конечного числа попарно несовместных событий можно представить как сумму двух несовместных событий:

.

Замечание. Результаты в примерах 10 и 11 можно проинтерпретировать следующим образом: поскольку все эл. события несовместны и равновероятны, то вероятность события A может быть получена по формуле P(А) = (см. свойство 5). Так, в примере 10 , , следовательно,

Эта интерпретация вероятности события, приведенная к примерам 10 и 11, позволяет обобщить понятие классической вероятности на случай, когда пространство элементарных исходов конечно, но элементарные события не являются равновозможными. Если задаться для всех , числами (свойства вероятностей 2,3), тогда вероятность любого события A может быть вычислена по формуле: