1.12. Формула пуассона

Если в схеме Бернулли проводится большое число испытаний – сотни, тысячи и более, то пользоваться формулой (1.14) становится затруднительно из-за большого числа вычислений. В этом случае (при больших n) существуют простые и достаточно точные формулы для вычисления P(n,m). Наиболее простая из них формула Пуассона. Она применяется тогда, когда наряду с большим числом испытаний n мала вероятность успеха р в каждом отдельном испытании.

Теорема Пуассона. Если число испытаний в схеме Бернулли n велико, вероятность успеха в одном испытании p мала и мало также число , тогда .

Доказательство. Запишем формулу Бернулли ;

= Здесь

Теорема Пуассона справедлива и по отношению к числу неудач, но только в этом случае должно быть мало число .

Вероятность , вычисленную по формуле Пуассона, будем обозначать как .

Как показывают расчеты [2], при n=5*10³ и p=10^-3 ошибка от использования формулы Пуассона составляет 0.01%. Значения функции для некоторых λ приводятся в таблицах.

Формулу Пуассона называют еще формулой редких событий из-за того, что вероятность p появления события в отдельном испытании значительно меньше 1.

Пример 46. По каналу связи передано 100 символов. Вероятность искажения одного символа помехами р = 0.04. Найти вероятность того, что будет искажено 2 символа.

Решение. Требуется найти Р(100,2). Применим формулу Пуассона, так как np=4 можно считать достаточно малой величиной. Итак, . Вычисления по точной формуле дают Р(100,2) = 0.1450. Абсолютная погрешность вычисления составляет 0.0015, а относительная – 0.13%.

Пример 47. Найти вероятность того, что в n испытаниях схемы Бернулли с вероятностью успеха p в каждом отдельном испытании появятся m+k успехов, причем k успехов появятся в последних k испытаниях.

Решение. Поскольку по условию задачи последние k испытаний в схеме Бернулли всегда заканчиваются успехом, оставшиеся m успехов появляются в первых n–k испытаниях. Число эл. исходов с таким расположением успехов в них можно вычислить по формуле . Тогда

1.13. Формула муавра – лапласа

Если в формуле Бернулли n велико, велики и значения np и nq, то хорошим приближением ее служит формула Муавра – Лапласа, локальная или интегральная. Локальная формула применяется тогда, когда вычисляется вероятность появления ровно m событий в серии из n независимых испытаний, а интегральная – когда определяется вероятность получить число успехов, заключенное между числами m₁ и m₂.

Локальная теорема Муавра – Лапласа. Если в схеме Бернулли число испытаний n велико, то для всех m справедливо приближенное равенство

, (1.17)

функцию называют плотностью стандартного нормального распределения.

Доказательство теоремы основано на использовании формулы Стирлинга , где . Рассмотрим поведение выражения при : .

Обозначим через при при , если x – ограниченная величина. Далее,

Отсюда . Окончательно имеем Следовательно, при достаточно больших n можно считать, что , что и требовалось доказать.

Формула дает хорошее приближение уже при n≥25, совпадения тем лучше, чем ближе p к . Значение функции φ(x) протабулировано.

Пример 48. Вероятность попадания в цель при одном выстреле равна 0.8. Какова вероятность, что при 400 выстрелах произойдет ровно 300 попаданий?

Решение. Здесь велики числа n и np, так как велика вероятность попадания в цель при одном выстреле. Воспользуемся формулой Муавра – Лапласа (1.17):

Пример 49. Вычислим при n=1000, к=10, р=0.01. По точной формуле Р(1000,10)= . По локальной формуле Лапласа Р(1000,10)≈0.12679. Формула Пуассона здесь также применима и дает результат Р(10,24)≈0.12511.

Интегральная теорема Муавра – Лапласа. Если в схеме Бернулли число испытаний n велико, то вероятность того, что число успехов μ заключено в границах от m₁ до m₂, приближенно равна

(1.18)

где При этом .

Интеграл , где – интеграл Лапласа, Содержательный смысл функции укажем позже. В силу четности функции φ(y) выполняется соотношение: и . Интегралы и протабулированы.

В терминах интеграла Лапласа интегральная теорема имеет вид:

(1.19)

Именно этой формулой пользуются при вычислениях.

Интегральная теорема является частным случаем центральной предельной теоремы, которую мы докажем позже (см.п.4.7).

Пример 50. 20% рыб, находящихся в водоеме богатом рыбой, –меченые. Сколько нужно выловить рыб из этого водоема, чтобы среди них с вероятностью 0.9 оказалось не менее 100 меченых?

Решение. Пусть n – количество рыб, которое нужно выловить. По условию задачи р = 0.2 – вероятность того, что выловленная рыба меченая. Согласно условию задачи . Но ; (находим по таблице) . Решаем квадратное уравнение относительно , получаем

Формулы Пуассона и Муавра – Лапласа рекомендуется применять [2], начиная с n 20. При этом, если , а , то рекомендуется формула Пуассона, при иных значениях λ – формулу Лапласа. Если 100, то при рекомендуется формула Пуассона, а при иных значениях параметра λ – формулу Лапласа.