1.2. Пространство элементарных исходов

Со случайным экспериментом могут быть связаны разные по «сложности» случайные события. Прежде всего, среди всевозможных исходов можно выделить множество взаимно исключающих друг друга событий, которые нельзя разбить на более мелкие в условиях данного опыта. В этом смысле они являются элементарными событиями. Так, все исходы в трех опытах, описанных выше, являются элементарными событиями (эл.событиями).

Множество взаимно исключающих друг друга событий называют пространством элементарных событий. Обозначать его везде будем буквой Ω (омега), элементы этого множества обозначаются чаще всего буквой ω с индексами - ω₁, ω₂,… Так, в первом опыте Ω = {ω₁, ω_2, ω₃, ω₄, ω₅, ω₆}, ω_к – выпадение k очков на верхней грани кости, k = 1,2,…,6; во втором опыте Ω={ω₁, ω₂} или Ω={Г, Р}; в третьем опыте Ω={(Г, Г), (Р, Р), (Г, Р), (Р, Г)}={ω₁, ω_2, ω₃, ω₄}.

Иными словами, пространство элементарных событий – это множество событий, удовлетворяющих условиям: 1) в результате эксперимента обязательно появляется одно из этих событий; 2) появление одного события исключает появление другого; 3) в условиях данного опыта эти события не могут быть разделены на более мелкие.

Другие события, как правило, объединяют в себе элементарные события. Обозначать иные (не элементарные) события будем большими буквами латинского алфавита A,B,C,… Примеры таких событий в первом опыте: событие А={выпадение четного числа очков}; событие В={выпадение не менее двух очков}; событие Н = ={выпадение нечетного числа очков}; в третьем опыте: событие C ={герб выпал не менее одного раза}; событие D={обе монеты упали одной стороной вверх} и т.д. Тогда событие A составляют эл. события в том смысле, что если опыт заканчивается одним из этих трех исходов, то это и означает, что произошло событие А. Таким образом, .

Множество Ω не обязательно конечно. Пусть опыт состоит в следующем: монета подбрасывается до первого появления герба и затем опыт прекращается. Исходами такого опыта являются последовательности вида Г; РГ; РРГ; РРРГ;… Число выпадений «решки» непредсказуемо. Оно может быть любым числом, поэтому элементарных исходов в этом опыте бесконечное множество (теоретически, по крайней мере). Другой пример опыта с бесконечным числом исходов, это время безотказной работы любого технического прибора. В этом опыте Ω=[0,∞).

Если множество Ω конечно или счетно, его называют дискретным.

В теории вероятности, как мы увидим далее, природа элементов множества Ω не представляет особого интереса.

Пример 1. Случайный эксперимент – двукратное подбрасывание игральной кости. Построить пространство элементарных исходов Ω и описать события: A = {оба раза выпало число очков, кратное трем}, B = {сумма выпавших чисел не больше 12}, C = {выпали одинаковые числа}, D = {число на первой кости меньше числа на второй кости}, G = {произведение выпавших чисел делится на пятнадцать}.

Решение. Поскольку результатами эксперимента являются пары чисел, выпавших на верхней грани игральной кости при первом и втором подбрасывании ее, то в качестве пространства эл. исходов естественно выбрать упорядоченные пары чисел, каждое из которых может принимать одно из шести значений, то есть . Тогда указанные события совпадают со следующими подмножествами Ω: A={(3,3), (3,6), (6,3), (6,6)}, B= , , D= , G={(3,5), (5,3), (5,6), (6,5)}.