1.6.3. Урновая схема

Классическое определение вероятности может быть реализовано на так называемой урновой схеме. Под урной понимается емкость, в которой размещены одинаковые по размеру и неразличимые на ощупь шары. Шары в урне тщательно перемешиваются. Случайный эксперимент состоит в выборе некоторого количества шаров из урны «не глядя». В этих условиях выбор любого из шаров, находящихся в урне, равновозможен.

В урновой схеме набор из m элементов назовем выборкой, что соответствует ранее приведенному термину соединение. Термину размещение эквивалентен термин упорядоченная выборка, термину сочетание – неупорядоченная выборка. Таким образом, упорядоченная выборка содержит различающиеся либо цветом, либо номером, либо еще по какому-нибудь признаку шары, неупорядоченная выборка содержит неразличимые шары.

Выборки различают еще по признаку возвращения: выборки с возвращением и выборки без возвращения. При выборке без возвращения вынутые шары в урну не возвращаются. Если это были пронумерованные шары, то среди чисел , где – номер вынутого шара, к=1, 2,…, m, не может быть совпадающих. При этом в урне всего n шаров. Выборку шаров из урны можно организовать и по-другому: вынимается шар, его номер i₁ запоминается, затем он возвращается в урну, шары в урне тщательно перемешиваются. Эта процедура повторяется m раз. Это наглядное представление выборки с возвращением. В такой выборке среди чисел i₁,…,i_m могут быть и совпадающие, так как при таком выборе на очередном шаге всегда может быть выбран любой из n шаров. Число исходов при урновой схеме представлено в табл. 1.

Таблица 1

Выбор Тип выборки	С возвращением	Без возвращения
Упорядоченная
Неупорядоченная

Замечание. Решение примеров 19, 20 станет более прозрачным, если использовать урновую схему.

Пример 21. В студенческой группе из 25 человек нужно выбрать старосту, комсорга и профорга (регалии дней давно минувших). Сколько вариантов такого выбора существует?

Решение. Если отвлечься от конкретного содержания задачи, то имеем просто схему урн; нас интересует число выборок по 3 шара из 25 шаров без возвращения, упорядоченных, т.к. мы различаем старосту, профорга и комсорга.

Следовательно, согласно табл.1, число вариантов выбора равно |Ω|= =25*24*23=13800. Здесь через |Ω| обозначено число n – общее число эл. исходов эксперимента.

Пример 22. Группа из 25 человек должна выбрать три человека на студенческую конференцию. Сколько вариантов такого выбора существует?

Решение. Опять-таки работает схема урн, выборка неупорядоченная, без возвращения, следовательно, согласно табл. 1 существует |Ω|= =13800/3!=2300 вариантов выбора.

Пример 23. В урне 5 карточек, занумерованных числами 1, 2, 3, 4, 5. По схеме случайного выбора с возвращением из урны трижды вынимается карточка. Какова вероятность того, что ровно в двух

случаях из трех будут вынуты карточки с нечетными номерами – событие A.

Решение. В эксперименте элементарное событие выглядит следующим образом: ω=(i₁, i₂, i₃), числа i₁, i₂, i₃ соответствуют номерам вынутых карточек. Различных эл. исходов в эксперименте равно |Ω|=5³ (см. табл. 1) – карточки пронумерованы и, следовательно, отличаются друг от друга. Событие A – ровно в 2-х случаях из 3-х вынимаются карточки с нечетными номерами, иначе А={ω=(i₁, i₂, i₃): ровно одно из чисел i_k четное}. Это четное число может находиться на одном из 3-х мест: на месте i₁, i₂ или i₃. Число эл. событий, благоприятствующих событию A, можно вычислить по схеме С С +С С +С С =3 С С =3·2·3·3=54. Следовательно, вероятность события А равна Р(А)=54/5³=2*(3/5)³=0,432.