1.6.4. Геометрическая вероятность

Недостаток классического определения вероятности состоит в том, что это определение годится только для конечных множеств Ω. В идейной своей основе геометрическая вероятность не отличается от классической, но связана со сл. экспериментами, число исходов которых бесконечно. В этой ситуации также работает принцип равновероятности (равновозможности) эл. событий, но суть его должна быть проинтерпретирована по другому, т.к. никакому эл. событию здесь в качестве его вероятности невозможно поставить в соответствие никакого другого числа, кроме нуля. Эта интерпретация носит название принципа геометрической вероятности и состоит в том, что

1. Множество Ω рассматривается как некоторое непрерывное ограниченное множество с бесконечным числом элементов, например, отрезок, многоугольник, шар и т.д. (вид множества определяется условиями задачи);

2. Опыт состоит в бросании идеальной точки (не имеет ни размера, ни веса) в это множество Ω;

3. Вероятность попадания ее в какую-нибудь область А Ω пропорциональна мере этой области μ(А).

Тогда вероятность наступления события А определяется как:

(1.2)

Принцип геометрической вероятности позволяет утверждать, что выбор любой точки из Ω – равновозможен.

Из формулы (1.2) вытекают все свойства вероятности, отмеченные для классического определения.

Пример 24. На линии связи длиной 10 км произошел обрыв. Какова вероятность, что он произошел не далее чем в 2 км от начала – событие А.

Решение. Предполагем, что линия связи однородна и потому положение точки обрыва равновозможно на любом отрезке линии, где бы он не располагался. Тогда применимо определение (1.2): .

Пример 25. Это знаменитая задача в другой формулировке впервые была предложена Уайтвортом в 1886 году. Два лица договорились о встрече в интервале времени . Первый, прибывший на встречу, ждет другого в течение времени t, затем уходит. Моменты прихода каждого из двух лиц независимы и выбираются наудачу в заданном промежутке времени. Какова вероятность встречи двух лиц?

Задаче можно придать и прикладной смысл. Например, в любые моменты времени промежутка длиной Т равновозможны поступления в приемник двух независимых сигналов. Приемник не различает сигналов (забит), если разность между моментами поступления сигналов будет меньше t. Определить вероятность, что приемник будет забит.

Приведем еще одну формулировку задачи.

Пусть задан отрезок длины ℓ, на котором случайным образом выбирается две точки С и В. Считая, что имеет место принцип геометрической вероятности, найти вероятность того, что длина отрезка СВ будет меньше a, а ≤ℓ, – событие А.

Решение. Решение задач приведем для задачи в последней формулировке. В этой задаче в качестве множества Ω удобно рассмотреть квадрат с вершиной в точке (0,0) со стороной ℓ. Каждой точке С и В назначим по стороне: координата точки С – x, координата точки В – y, 0 ≤ x, y ≤ℓ . Событие А наступит, если │x – y│≤ a.

Геометрически событие А – это часть квадрата между прямыми x – y = а и у – x = a. Поэтому Р(А) =площадь (А) / площадь (Ω)=

Пример 26 (Задача Бюффона). Площадь разграфлена параллельными прямыми, отстоящими друг от друга на расстоянии ℓ. На плоскость наугад бросают иглу длиной 2а, а<ℓ. Найти вероятность того, что игла пересечет какую-нибудь из параллельных прямых – событие А.

Решение. Обозначим за х расстояние от центра иглы до ближайшей прямой, за φ – угол между иглой и этой прямой. Пара чисел х, φ полностью определяет положение иглы на плоскости. Следовательно, Ω={(х, φ): 0 х ℓ, 0 φ π}, μ(Ω)= ℓ π (см. рис.).

Благоприятствующие событию А элементарные исходы можно выделить условием: х аsinφ, (х,φ) Ω: . Тогда μ(А)= =2а, P(А)= .