7. Условная вероятность. Независимость событий

Вероятность любого события A, которое может появиться в качестве случайного исхода эксперимента, является всесторонней числовой характеристикой события. Но это в случае, если в эксперименте рассматривается только одно это событие. Если же рассматривать в эксперименте некоторое число событий, то возникают, кроме вопроса о том, каковы вероятности этих событий, другие вопросы. Например, зависит ли вероятность появления события A от того, появилось или нет в опыте событие B? Одной вероятностью событий здесь уже не обойтись, информация, в ней содержащаяся, характеризует каждое из двух событий неполно.

Рассмотрим пример. Пусть в первом опыте событие A={выпадение четного числа очков}, событие В={выпадение более трех очков}. Событие А состоит из эл. исходов ω₂, ω₄ и ω₆, событие В – из эл. исходов ω₄, ω₅, ω₆. Вероятности событий равны между собой, Р(А)=Р(В)=1/2. Вернемся к вопросу: изменится ли вероятность события A, если известно, что в опыте произошло событие В? Если в опыте происходит событие В, то это означает появление одного из трех эл. исходов ω₄, ω₅ или ω₆. Но событию A из этих трех эл. исходов благоприятствуют только два: ω₄ и ω₆. Следовательно, вероятность события A при условии, что в опыте имело место событие В, равна 2/3. Как видим, вероятность события А изменилась.

Вероятность события А при условии, что в опыте произошло событие В, называют условной вероятностью, обозначают ее символом Р(А|В).

Обратим внимание на то, что условная вероятность была вычислена по классической схеме, но по отношению не к исходному эксперименту, первому, а по отношению к новому эксперименту, его можно назвать условным экспериментом. В этом новом, условном, эксперименте нас интересовали только те из элементарных исходов первого эксперимента, которые вызывали появление события В. Эти эл. исходы образовали пространство эл. событий нового эксперимента. Число эл. событий нового эксперимента обозначим через : =3, Ω_В={ω₄, ω₅, ω₆}. Среди этих эл. исходов выделим те, которые вызывают появление события A, их число обозначим через : n_AB= 2, А={ω₄, ω₆}. Тогда

(1.4)

В этом равенстве содержится сущность понятия условной вероятности. Дадим ее формальное определение.

Определение. Пусть (Ω, F, Р) – некоторое вероятностное пространство. Если Р(В) > 0 (иначе, ), В F, то число

(1.5)

называют условной вероятностью события A при условии В.

Выше мы получили формулу (1.4) для условной вероятности. Легко видеть, что это та же формула (1.5). Поделим числитель и знаменатель формулы (1.4) на число n – число эл. исходов первого эксперимента, получим , а это формула (1.5).

Отметим, что так как .

При фиксированном событии В F, является функцией событий A F. Можно проверить, что удовлетворяет всем аксиомам вероятности А1÷ А3, следовательно, является вероятностью. Действительно, 1) – следует из определения условной вероятности; 2) так как

3) Пусть последовательность попарно несовместных событий. Тогда

При этом [3], если исходная вероятностная мера задана на измеримом пространстве (Ώ, F), то условная вероятностная мера Р(.|В) задана на измеримом пространстве (В, F ), где F –σ–алгебра ω–множеств вида A , А F.

Формула (1.5) дает возможность вычислять вероятность произведения событий

Р(АВ)=Р(В)Р(А|В)=Р(А)Р(В|А), (1.6)

если вероятности в правой части известны. Формула (1.6) известна как формула умножения вероятностей. Она может быть обобщена на случай произведения конечного числа событий

(1.7)

События А и В называются независимыми, если

Р(АВ)=Р(А)Р(В) (1.8)

Некоторые свойства независимых событий

1. Условие (1.8) эквивалентно условию

или (1.9)

Это утверждение с очевидностью следует из сравнения равенств (1.6) и (1.8).

Следствие. Понятие независимости событий взаимное: если событие A не зависит от события B, то и событие B не зависит от события А.

2. Если события А и В независимы, то независимы события А и , Ā и В, Ā и .

Действительно, => По свойству 1 независимых событий это и означает независимость событий А и . Далее,

3. Если события A и В₁, А и В₂ независимы и В₁∩В₂=Ø, то независимы и события А и В₁+В₂.

Имеем

4.Если события А₁, А₂,…, А_n независимы в совокупности, то

(1.10)

События А₁,…, А_n называются независимыми в совокупности, если для всех

и т.д. Из определения следует, что попарная независимость событий – это частный случай независимости в совокупности, только при k=2. Следовательно, из независимости в совокупности следует попарная независимость, обратное утверждение в общем случае неверно.

5. Пусть А₁,…, А_n – независимые в совокупности события и A=UA_k. Вычислим Р(А). По формулам де Моргана и события , k=1,…,n, независимы в совокупности (свойство 2 независимых событий). Тогда по формуле (1.6) имеем

Следовательно,

Р(А) = 1 – . (1.11)

Эту формулу называют формулой сложения вероятностей независимых событий.

Пример 28. На 7 карточках написаны буквы, образующие слово «соловей». Карточки перемешиваются и затем из них наугад последовательно извлекают 3 карточки. Найти вероятность, что получится слово «вол» – событие A.

Решение. Введем события: – на первой вынутой карточке написана буква «в»; событие – на второй карточке – буква «о»; событие – на третьей карточке – буква «л». Тогда событие . В соответствии с формулой умножения вероятностей (1.7) . Согласно классическому определению вероятности . Если событие произошло, то среди оставшихся 6 букв буква «о» встречается 2 раза. Поэтому . Аналогично определяется вероятность : если события и произошли, то среди оставшихся 5 букв буква «л» встречается 1 раз, поэтому . Окончательно получаем .

Пример 29 (С.Н.Бернштейн). На плоскость бросают тетраэдр, три грани которого окрашены в красный (К), синий (С), зеленый (З) цвета, на четвертую грань нанесены все три цвета. События К, С, З – тетраэдр упал на грань соответствующего цвета. Будут ли независимыми события в совокупности? Попарно?

Решение. Вероятности каждого из событий К, С и З равны между собой: Вероятности произведений событий также равны между собой: Следовательно, события К, С, З попарно независимы, но в совокупности они не являются независимыми, так как

Пример 30. В опыте 3 (см. стр. 6) событие A={выпадение герба на первой монете}, событие В={выпадение « решки» на второй монете}. Зависимы ли события A и В?

Решение. В опыте пространство элементарных исходов событиям A и B каждому соответствует по два эл. исхода: А={(Г, Г), (Г, Р)}, В={(Р, Р), (Г, Р)}, следовательно, Р (А)=2/4=1/2 и Р(В)=2/4=1/2. Рассмотрим вероятность Р(А|В). По определению Р(А|В)=Р(АВ)/Р(В). Вероятность Р(АВ)=1/4, так как событие АВ={(Г,Р)}. Следовательно, Р(А|В)=(1/4)/(1/2)=1/2=Р(А), поэтому события A и В независимы.

Условную вероятность можно было бы вычислить по условному эксперименту. Условный эксперимент имеет множество эл. исходов Ω_В={(Р,Р),(Г,Р)}. Среди эл. событий этого эксперимента событию А благоприятствует только одно событие (Г, Р), следовательно, =1/2.

Пример 31. Эксперимент состоит в бросании точки в квадрат [0,1]×[0,1]. Событие А={точка попала в область, расположенную в квадрате правее прямой x=a}; событие В={точка попала в область, расположенную в квадрате выше прямой y=b}, 0 < a,b < 1. Являются ли события A и B независимыми?

Решение. Имеем дело с геометрической вероятностью. Событие А – прямоугольник в квадрате со сторонами 1–а и 1; событие В – прямоугольник в квадрате со сторонами 1 и 1–b. Функция μ(.) – обычная площадь, следовательно, Р(Ω)=1, Р(А)= 1–а, Р(В)= 1–b. Событие АВ – прямоугольник в квадрате со сторонами 1–а и 1–b => Р(АВ)=(1–а)(1–b). Видим, что Р(А)Р(В)=Р(АВ) => события А и В независимы.

Отметим, что если бы мы рассмотрели условный эксперимент при условии А, то Ω_А – это прямоугольник II в квадрате с основанием 1–а и высотой 1. Событию B в этом множестве Ω_А благоприятствует прямоугольник I со сторонами 1–а и 1–b. Тогда = площадь (I) / площадь (II)=(1–а)(1–b)/(1–а)·1=(1–b)= =Р(В).