2. Математична модель процесів народження і загибелі

2.1 Рівняння Колмогорова-Чепмена та рівняння Колмогорова

Математичним апаратом опису простої схеми з чергою (рис.1.1) може служити модель, яка носить назву процесів народження і загибелі. Така назва взята із біології, де моделювався процес розвитку певної популяції видів, який залежить від того скільки нових членів популяції народилось, а скільки загинуло.

В нашому випадку число членів популяції буде відповідати числу заявок (повідомлень) в черзі, а народження – прихід певної заявки; загибель – обслужена заявка, яка покидає обслуговуючий прилад (наприклад, сервер).

Якщо випадковий процес Х(t) в момент часу t знаходиться в стані n, він може через деякий випадковий проміжок часу перейти в одне із сусідніх станів n+1 (кількості заявок в черзі збільшилась на одиницю) або в n-1 (одна заявка покинула систему).

Допустимо, що Х(t) є марківським процесом із станами 0,1,2,…,n,… і що його ймовірності переходу стаціонарні, тобто

.

Крім того допустимо, що задовольняє наступними постулатами:

1. при .

2. при

3. при

4.

3. >0; ,

де О(h) – нескінченно мала величина, така що .

Відмітимо, що постулат 3 є наслідком двох перших постулатів. Дійсно, нехай А – подія, що систему в момент часу t+h перейде в стан i+1, а В – подія, яка відповідає переходу системи в момент часу t+h в стан i-1. Подія означає, що система перейде в стан А або в стан В. Протилежну подію позначимо через . Подія С означає, що система в момент часу t+h залишиться в стані і. Обчислимо . Оскільки , то . Враховуючи те, що і маємо .

Оскільки - ймовірності, то і

. (2.1)

Відмітимо одну обставину. Для того щоб перейти із стану i в стан j за час t+s, процес Х(t) в момент t повинен прийняти деяке значення k, а потім за час s, що залишився, перейти в стан j. Це означає, що

. (2.1)

Формула (2.1) носить назву рівняння Колмогорова - Чепмена.

В сумі, що знаходиться в правій частині рівняння (2.1) виділимо члени з індексами i-1, і та і+1, а будемо вважати нескінченно малою величиною. Тоді

Оцінимо залишкову суму в останньому рівнянні. Оскільки і , то очевидно що . З іншої сторони . Звідси знаходимо, що . Використовуючи постулати 1,2 і 3 знаходимо: . Звідси випливає, що .

Отже, і . У відповідності з постулатами 1, 2 і 3 ; і . Тому

В останньому рівнянні доданок перенесемо в праву частину і поділимо ліву і праву частину отриманого рівняння на h. Будемо мати

.

Переходячи до граничного значення , отримуємо

, . (2.3)

Отримані рівняння носять назву зворотних диференціальних рівнянь.

Інша ситуація виникає при розподілі інтервалу (0; t+h) на (0; t) i (t; t+h). В цьому випадку . Як і раніше, у сумі, що знаходиться у правй частині виділимо члени з індексами , ,

,

де - залишкова сума членів ряду. Зробимо таку заміну індексів для змінної : . Тоді і . З врахуванням першого постулату, будемо мати . Перейдемо до початкових індексів У результаті отримаємо . Розглянемо тепер величину . Для неї зробимо таку заміну індексів: . Звідси знаходимо . Отже, . У відповідності з другим постулатом . Якщо перейти до початкових індексів, то отримаємо . Оцінимо залишкову суму . Як і раніше можемо записати ,що . З іншої сторони . Підставляючи значення і та, враховуючи те, що , отримаємо

.

Із останньої рівності знайдемо, що

.

Якщо допустити, що за нескінченно малий проміжок часу значення величин і не змінились, то . Оскільки , то . Отже, . Таким чином, можемо записати, що

.

Підставляючи значення , та у останній вираз, отримаємо

.

Розкривши дужки і перенісши у ліву частину останнього рівняння та розділивши ліву і праву частину на , отримаємо

.

Переходячи до граничних значень при , будемо мати

, (2.4)

з початковими умовами .

Рівняння (2.4) відомі як прямі рівняння Колмогорова.

Якщо в математичній моделі процесу народження і загибелі допустити, що то отримаємо частковий випадок процесу обслуговування з непереривним часом.

Стан системи при цьому інтерпретується як довжина черги, в яку поступають заяви через незалежні один від одного інтервали часу, що мають розподіл з параметром λ, і для якої тривалість часу обслуговування чергового клієнта є випадковою величиною, що має експоненціальний розподіл з параметром , який може залежати від довжини черги.

Для одноканальної системи (з одним обслуговуючим приладом) .