2. Які величини є елементами інфінітезимальної матриці?

3. Дайте визначення консервативної системи масового обслуговування.

4. Відносно яких змінних записана математична модель системи масового обслуговування з кінцевим числом станів?

3. Для системи масового обслуговування з кінцевим числом станів , інтенсивністю вхідного потоку =0,3 і інтенсивністю обслуговування =0,4 записати інфінітезимальну матрицю.

6. Для системи масового обслуговування з кінцевим числом станів , інтенсивністю вхідного потоку =1,35 і інтенсивністю обслуговування =1,4 визначити зміну перехідних ймовірностей в часі.

7. Задана інфінітезимальна матриця консервативної системи масового обслуговування

.

Чому дорівнюють інтенсивності , , ?

8. Для консервативної системи масового обслуговування, граф якої показаний на рисунку,

знайдіть її розв’язок, який описує функціонування такої системи, якщо , і ; =1,6, =1,63.

9. Для консервативної системи масового обслуговування, граф якої показаний на рисунку,

визначити ймовірність знаходження системи в стані при нескінченно довгій її роботі, якщо , і ; =0,12, =0,14.

10. Система складається із N приладів, час безвідмовної роботи, кожного із них експоненціально-розподілена випадкова величина з параметром . Число елементів, що знаходяться в момент часу в неробочому стані Х_t=0,1,...,n. Є r  n операторів, кожен із яких може одночасно відновлювати лише один прилад. Якщо число приладів, що відмовили більше r, то r елементів відновлюються, інші утворюють чергу на відновлення. Знайдіть інтенсивність переходу системи із стану в стан при , , .

4 Моделі багатолінійних систем масового обслуговування

4.1 Основні типи систем масового обслуговування

Існують наступні типи систем МО.

Системи з втратами (рис. 4.1) – вимоги, які при поступленні не знаходить ні одного вільного приладу, губляться

0 – джерела вимог;

1 – прилад.

Рисунок 4.1 – Система МО з втратами

Система з очікуванням (рис. 4.2) – можливе очікування для будь-якого числа вимог (або обмеженого числа вимог), які не можуть бути обслужені зразу. Вони складають чергу у відповідності з дисципліною обслуговування.

0 – джерело повідомлень;

1 – накопичувач;

2 – прилад.

Рисунок 4.2 – Система МО з очікуванням

Системи з обмеженим накопичувачем (рис.4.3). В системі в будь-який час може знаходитися не більше ніж вимог, де . Отже, ємність накопичувача дорівнює (одна вимога обслуговується). Якщо в момент поступлення вимоги в накопичувачі вже є інших вимог, то ці вимоги губляться (покидають систему) (рис. 4.3)

+

0 – джерело повідомлень;

1 – накопичувач;

2 – прилад.

Рисунок 4.3 – Система МО з обмеженим накопичувачем

Багатолінійна система із загальним накопичувачем (рис. 4.4). Допускається, що є приладів (ліній), кожний (кожна) із яких може одночасно обслуговувати одну вимогу. Якщо на деякому приладі закінчуються операція обслуговування і в накопичувачі є вимога, то вона негайно приймається до обслуговування.

Рисунок 4.4 – Багатолінійна система МО із загальним накопичувачем

Невизначеність виникає в ситуації коли в момент поступлення вимоги вільні хоча б два прилади. В даному випадку допускають, що кожен із приладів вибирається з однаковою ймовірністю.

Система з обмеженим часом очікування (рис. 4.5). Вимоги, які поступають в систему (накопичувач) можуть очікувати початку обслуговування тільки обмежений час , де - випадкова величина.

Рисунок 4.5 – Багатолінійна система МО з обмеженим часом очікування

Кількість заявок в накопичувачі, очевидно дорівнює , де – загальне число повідомлень в момент часу ; – це кількість приладів, які зайняті обслуговуванням заявок.

Пріоритетні системи МО. Допустимо, що в систему МО поступають вимоги двох типів І і ІІ. Вважають, що вимоги І типу мають відносний пріоритет перед вимогами ІІ типу. Обслуговування відбувається за наступним правилом. Вимоги обох типів утворюють окремі черги, і в момент закінчення обслуговування наступна вимога вибирається із черги вимог ІІ типу. Якщо в системі не має вимог І типу, то приймаються до обслуговування вимога ІІ типу.

Другою формою пріоритету є абсолютний пріоритет. За визначенням, вимоги І типу мають абсолютний пріоритет перед вимогами ІІ типу. Якщо в момент поступлення вимоги І типу обслуговувується заявка ІІ типу, то її обслуговування переривається і терміново починається обслуговуванням заявки І типу. Коли в системі знаходяться як ті, так і другі вимоги, то вони утворюють окремі черги. Розрізняють випадки абсолютного пріоритету з втратами, абсолютного пріоритету з дообслуговування і абсолютного пріоритету з обслуговування спочатку.