4.2 Символіка систем мо
Для короткої характеристики систем МО застосовують символіку, яка викладена нижче.
Система МО характеризується 4-ма величинами А/В/S/m, де
– кількість
обслуговуючих приладів;
– ємність
накопичувача;
А – потік вимог:
А = GI (general independent ) – рекурентний потік вимог;
А = M (Markov ) – пуасоновський потік вимог;
А = Еk (Erlang ) – рекурентний потік вимог з розподілом Ерланга порядку k;
А = D (deterministic) – потік з постійними інтервалами між вимогами;
В – характеризує випадкові послідовності тривалостей обслуговування на окремих приладах:
В = G – послідовність незалежних однаково розподілених тривалостей обслуговування на кожному приладі;
В = М – послідовність незалежних, експоненціально-розподілених тривалостей на кожному приладі.
4.2 Математичні моделі основних типів систем мо
Системи МО типу M/M/1 і M/M/1/N, розглянуті нами раніше (див. приклади 2.1 і 2.2). Зараз ми розглянемо інші типи систем МО.
4.2.1 Система з втратами. Система типу M/M/N/0 складається із однакових приладів, які обслуговують вимоги за експоненціальним законам з параметром . Вхідний потік також має експоненціальне розподілення з параметром . Якщо в момент поступлення вимоги всі прилади зайняті, то вимога губиться.
Якщо
-
число вимог в системі МО в момент часу
,
що співпадають з числом занятих приладів,
то
-
процес розмноження і загибелі з
параметрами
Тому у відповідності з формулою (2.7)
,
де
.
Оскільки
і
,
то
,
де
.
Розглянемо частковий випадок, коли система МО має один обслуговуючий прилад. Для системи типу M/M/1/0, матимемо
і відповідно
.
Таким чином, в
стаціонарному стані система МО
характеризується двома ймовірностями
і
;
- ймовірність того, що прилад вільний
від обслуговування і
- ймовірність того, що прилад зайнятий
обслуговуванням. Граф системи МО
показаний на рис.6.4.
Рисунок 4.6 – Граф системи МО типу М/М/1/0.
Знайдемо ймовірності
і
як функції часу
.
Для цього запишемо рівняння (3.14) для
.
Маємо
з початковою умовою
і
.
Це означає, що прилад в момент часу
вільний від обслуговування.
У відповідності з формулою (3.13) обчислимо
.
Отже,
Розв'язок отриманої системи рівнянь здійснимо шляхом використання перетворення Лапласа. Маємо
;
.
Отриману систему рівнянь запишемо в такому вигляді:
Звідси знаходимо
Знайдемо полюси
функцій
і
,
розв'язавши рівняння (
).
Отримуємо
і
.Використовуючи
формулу
,
Знаходимо (N=1)
,
.
Значення величин
і
в стаціонарному стані знайдемо, якщо
t
буде прямувати до нескінченності. Тоді
і
Отриманий результат, природно, співпадає із результатом, який отриманий на основі формули (2.7).
4.3 Багатолінійна система м/м/n/n з обмеженою чергою і обмеженим часом очікування
Нехай багатолінійна
система МО має
приладів
і буфер ємністю
.Це
означає, що в будь-який момент часу
в системі можуть одночасно обслуговуватись
не більше
вимог і не більше
заявок знаходяться в черзі. Отже, в
системі МО одночасно може знаходитись
не більше ніж
заявок.
Допустимо, що на вхід системи наступає
потік вимог з експоненціальним законом
розподілу, параметр якого
.
Обслуговування заявок, які наступають
в систему МО, здійснюються у відповідності
з принципом FCFS.
Будемо вважати, що тривалість перебування
в черзі випадкова незалежна від інших
факторів величина, яка має експоненціальний
закон розподілу з параметром
.
Отже, процес
функціонування системи МО можна описати
наступним чином. Вимога що наступає в
систему МО, може бути негайно прийнята
до обслуговування, якщо в системі є
вільний прилад. Якщо вільних приладів
(каналів) в системі немає, то при наявності
вільних місць в буфері вимога стає в
чергу. Із черги така вимога може попасти
на обслуговування або покинути систему,
якщо час очікування перевершить деяку
величину
.
В такому випадку вимога вважається
загубленою. Загубленими вважається і
вимоги, які застали буфер заповненим.
Схематично описана
система МО зображена на рис. 4.7. До відомих
вже елементів системи тут долучений
потік
,
загублений із-за обмеженого часу
очікування.
Рисунок 4.7 - Система МО типу М/М/N/n з обмеженим часом очікування
Стан системи МО
повністю визначається випадковим
процесом
- числом вимог в момент часу t.
Множина можливих станів системи
.
Визначимо операції,
які відповідають стану
.
При
продовжується одна фіктивна операція
очікування вимоги
та і
операцій
обслуговування. Так як величина роботи,
що пов’язана з виконанням операцій,
виражена в одиницях часу, то
при
.
При
інтенсивності виконання операцій
наступні
(4.1)
Після закінчення
операції
з ймовірністю 1 здійснюється перехід в
стан
(в систему поступила нова вимога і
кількість вимог збільшилася на 1).
Закінчення однієї
із операцій
приводить до обслуговування однієї
вимоги, що означає перехід системи в
стан
.Тому:
(4.2)
Якщо
і
,
то має місце одна фіктивна операція
очікування
вимоги, N
операцій обслуговування
і
фіктивних операцій очікування втрати
вимоги.
Отже,
(4.3)
Підставляючи
рівності (4.1) і (4.2) в (3.18) визначимо
інтенсивності переходів
для
(операція очікування)
;
(4.4)
для значень
(операція обслуговування)
.
(4.5)
Отже,
(4.6)
Тепер обчислимо
за формулою(3.18) інтенсивності переходів
марківського процесу
для випадку коли
.
Для цього підставимо(4.2) і (4.3) в
формулу(3.18). В результаті отримаємо:
.
Отже,
(4.7)
Наведені обчислення дають змогу зробити висновок, що інтенсивності переходів визначаються такими співвідношеннями:
,
(4.8)
І, на кінець, при
не здійснюється операція очікування (
немає місця в буфері і вимога негайно
покидає систему МО).
Таким чином, математична модель системи МО типу M/M/N/n з обмеженою чергою і обмеженим часом очікування описується системою рівнянь (3,14) , в якій
;
;
і
для інших значень k
та j.
Крім того
.
Значення
для j
[0,N+n]
обчислюються за допомогою формули
(4.8).
Систему рівнянь (3.14) запишемо в розгорнутому вигляді, враховуючи, що індекс j приймає значення від 0 до N+n. Отже,
,
,
.......................................................................................
………………………………………………………….
(4.9)
Обчислимо значення інтенсивностей переходів, які входять в систему рівнянь(4.9) . Обчислення виконаємо для значень j [0,N+n] . У відповідності з умовами(4.8) будемо мати для :
;
;
……………….....................................
;
;
;
...........................................................................................
для інших значень k та j .
З врахуванням інтенсивності переходів система рівнянь (4.9) набуде такого вигляду:
...................................................
...................................................................................
(4.10)
Узагальнюючи отримані результати, можемо записати, що
,
для
значень
;
для
значень
;
Система рівнянь(4.10) повинна бути розв’язана з початковими умовами
(4.11)
які характеризують систему МО в момент часу t=0. При цьому повинні виконуватись умови нормування:
(4.12)