2.2 Ергодичні ймовірності процесів народження і загибелі

При існує межа . яка не залежить від початкового стану i. Ймовірність носить назву ергодичної ймовірності.

Із рівняння (2.4) витікає, що при

і відповідно

, (2.5)

Якщо , то послідовність називається стаціонарною. Для стаціонарних значень має місце співвідношення

,

яке випливає з рівності (2.1).

Знайдемо розв’язок рівнянь (2.5). Нехай , тоді - . Допускаємо, що відоме значення . Із останнього рівняння знайдемо

.

Позначимо . Отже,

.

Візьмемо , тоді

.

Враховуючи значення , будемо мати

.

Звідси

.

Оскільки , то . Як раніше позначимо .

Візьмемо тепер . Із рівняння (2.5) випливає, що

.

Але раніше ми вже знайшли і , значення яких можемо підставити в останнє рівняння. В результаті отримуємо

.

Розв’язуючи останнє рівняння відносно , приходимо до висновку, що

.

Якщо врахувати ту обставину, що , а ,то

, де

.

За індукцією можемо записати, що в загальному випадку

, (2.6)

де обчислюється у відповідності з рекурентним співвідношенням

, ; .

Крім того, очевидно, що ;

Початкове значення можна знайти із умов нормування .

Враховуючи значення , отримуємо .

Звідси ;

Таким чином,

. (2.7)

Із рівняння (2.7) випливає, що при існує стаціонарне значення величин . В тому випадку, коли , то і всі також дорівнюють нулю. Відповідно, не існує граничного стаціонарного розподілу.

В тому випадку, коли система має n обслуговуючих приладів, кожний із яких має експоненціальний розподіл часу обслуговування з одним і тим же параметром , то будемо мати випадок при .

Приклад 2.1. Розглянемо систему з одним обслуговуючим приладом і експоненціальними законами поступлення і обслуговування заявок з параметрами і . Допустимо, що . Необхідно знайти розподіл числа заявок, що знаходяться в черзі.

У відповідності з формулою (2.7)

.

Оскільки і , то . Тепер знайдемо . Оскільки , то маємо ряд, який є сумою нескінченної геометричної прогресії. Для такого ряду . В нашому випадку а . Отже,

.

Таким чином, закон розподілу кількості заявок в черзі визначається таким виразом

.

Математичне очікування випадкового процесу визначає середнє число заявок, які є в черзі.

Обчислимо середнє число заявок, які знаходяться в черзі. Для цього необхідно обчислити

. (2.8)

Помножимо рівняння (2.4) на одиницю при , потім на 2 при ; на 3 при і т. д. В результаті отримаємо

……………………………………………..

Після додавання лівих і правих частин отриманих рівнянь будемо мати (при )

.

В сумі виділимо перший доданок. Тоді . Отже,

.

В тому випадку, коли і будемо мати

. Оскільки і , то

(2.9)

з початковою умовою . Диференціальне рівняння (2.9) належить до класу лінійних рівнянь першого порядку

,

розв’язок якого

.

В нашому випадку

і відповідно

.

З врахуванням початкової умови будемо мати

.

Оскільки , то спрямувавши до нескінченності, отримаємо середнє число заявок, які знаходяться в черзі .

Контрольні запитання і завдання

1. Дайте інтерпретацію процесів народження і загибелі стосовно процесів, які відбуваються в комп’ютерних мережах.

2. Сформулюйте три постулати, на основі яких можна отримати математичну модель процесів народження і загибелі.

3. Яке рівняння лежить в основі математичної моделі процесів народження і загибелі?

4. Яка відмінність між прямим і зворотним рівняннями Колмогорова?

3. Яка умова стаціонарності випадкового процесу, який породжений процесами народження і загибелі?

6. Яка умова існування стаціонарного значення ймовірностей знаходження системи в кінцевому стані?

7. Для системи масового обслуговування з одним обслуговуючим приладом, інтенсивністю вхідного потоку та інтенсивністю обслуговування виконується співвідношення > . Чи буде існувати в системі масового обслуговування черга з кінцевим числом заявок?

8. Для системи масового обслуговування з одним обслуговуючим приладом, інтенсивністю вхідного потоку =0,45 та інтенсивністю обслуговування =0,5 визначити ймовірність знаходження в системі рівно =3 заявок за умови, що система працює нескінченно довго.