- •1 Моделі однолінійних систем масового обслуговування
- •1.1 Основні поняття і визначення. Дисципліна обслуговування.
- •1.2 Марківські процеси і ланцюги та їх властивості
- •1.2.1 Поняття марківського процесу і ланцюга
- •1.2.2 Дискретний ланцюг Маркова
- •2. Математична модель процесів народження і загибелі
- •2.1 Рівняння Колмогорова-Чепмена та рівняння Колмогорова
- •2.2 Ергодичні ймовірності процесів народження і загибелі
- •3 Математична модель системи мо з кінцевим числом станів
- •3.1 Зворотні та прямі рівняння Колмогорова
- •3.2 Математичні моделі консервативних систем мо
- •3.3 Обчислення інтенсивностей переходів марківських процесів
- •3.4 Система із n приладів і r із них можуть відновлюватись
- •2. Які величини є елементами інфінітезимальної матриці?
- •4 Моделі багатолінійних систем масового обслуговування
- •4.1 Основні типи систем масового обслуговування
- •4.2 Символіка систем мо
- •4.2 Математичні моделі основних типів систем мо
- •4.3 Багатолінійна система м/м/n/n з обмеженою чергою і обмеженим часом очікування
- •4.4 Обчислення ергодичних розподілів системи мо типу m/m/n/n
- •4.4.1 Багатоканальна система з обмеженою чергою (m/m/n/n)
- •4.4.2 Багатоканальна система з нескінченою чергою і обмеженим часом очікування (m/m/n)
- •4.4.3 Система мо з очікуванням і необмеженою чергою (m/m/n; )
- •5 Оптимальні потоки у мережах
- •5.1 Поняття про мережу і основні визначення
- •5.2 Задача про максимальний потік у мережі
- •5.3 Теореми про оптимальні потоки у мережах
- •5.4 Метод розстановки поміток для знаходження максимального потоку
- •5.5 Модифікований метод розстановки поміток для знаходження максимального потоку
- •5.6 Алгоритм Форда-Фалкерсона знаходження максимального потоку
- •6 Багатополюсні максимальні потоки
- •6.1 Умова реалізації
- •6.2 Аналіз мережі
- •7 Найкоротші ланцюги і потоки мінімальної вартості
- •7.1 Найкоротші ланцюги
- •7.2 Багатополюсні найкоротші ланцюги
- •7.3 Багатополюсні ланцюги максимальної пропускної здатності
- •7.4 Потоки мінімальної вартості
4.4 Обчислення ергодичних розподілів системи мо типу m/m/n/n
Марківський процес називається ергодичним, якщо . Величина носить назву ергодичного розподілу процесу .
Із визначення ергодичного розподілу випливає спосіб визначення величини . Для цього в системі рівнянь(4.9) і(4.10) необхідно всі похідні прирівняти до нуля. В результаті отримаємо:
................................................
...................................................
(4.13)
Для ергодичних розподілів повинні також виконуватися умови нормування
(4.14)
Із першого рівняння системи(4.13) визначимо
.
Підставивши значення в друге рівняння системи(4.13) приходимо до висновку, що
.
Тепер, підставляючи знайдені величини і в третє рівняння системи (4.13) знаходимо
.
Продовжуючи процес обчислень за наведеною схемою, неважко переконатись, що
. (4.15)
для значень j [0,N]
Нехай j = N. Тоді де .
Оскільки і , то підставляючи значення і в останнє рівняння, отримаємо
.
Знаючи значення і знайдемо - із рівняння ( )
Отже,
.
За відомими значеннями величин і із рівняння ( )
визначимо
Продовжуючи процес обчислень за наведеною схемою, приходимо до висновку що
де (4.16)
В формулі(4.16) зробимо заміну - . Тоді
де . (4.17)
Значення знайдемо із умови нормування (4.14). Маємо:
Враховуючи значення які виражаються формулами(4.15) і(4.17), отримаємо
.
В другому доданку суми, що в дужках, зробимо таку заміну: . Тоді
.
Із останнього рівняння знаходимо
(4.18)
Введемо таке позначення . Тоді ерготичний розподіл системи МО типу M/M/N/n буде таким:
(4.19)
Якщо враховувати значення , то формула(4.18) для визначення набуде такого вигляду:
. (4.20)
4.4.1 Багатоканальна система з обмеженою чергою (m/m/n/n)
В цьому випадку немає обмежень на тривалість перебування в черзі. Тому ( ). Це дає можливість систему рівнянь(4.10) переписати в такому вигляді:
...................................................
...................................................................................
(4.21)
Початкові умови і умови нормування визначаються формулами(2.36) і(4.12).
Ерготичні розподіли системи МО типу M/M/N/n без обмежень на тривалість перебування в черзі обчислимо за формулами (4.19) і (4.20), взявши ( ). В результаті отримаємо:
(4.22)
де
(4.23)