- •1 Моделі однолінійних систем масового обслуговування
- •1.1 Основні поняття і визначення. Дисципліна обслуговування.
- •1.2 Марківські процеси і ланцюги та їх властивості
- •1.2.1 Поняття марківського процесу і ланцюга
- •1.2.2 Дискретний ланцюг Маркова
- •2. Математична модель процесів народження і загибелі
- •2.1 Рівняння Колмогорова-Чепмена та рівняння Колмогорова
- •2.2 Ергодичні ймовірності процесів народження і загибелі
- •3 Математична модель системи мо з кінцевим числом станів
- •3.1 Зворотні та прямі рівняння Колмогорова
- •3.2 Математичні моделі консервативних систем мо
- •3.3 Обчислення інтенсивностей переходів марківських процесів
- •3.4 Система із n приладів і r із них можуть відновлюватись
- •2. Які величини є елементами інфінітезимальної матриці?
- •4 Моделі багатолінійних систем масового обслуговування
- •4.1 Основні типи систем масового обслуговування
- •4.2 Символіка систем мо
- •4.2 Математичні моделі основних типів систем мо
- •4.3 Багатолінійна система м/м/n/n з обмеженою чергою і обмеженим часом очікування
- •4.4 Обчислення ергодичних розподілів системи мо типу m/m/n/n
- •4.4.1 Багатоканальна система з обмеженою чергою (m/m/n/n)
- •4.4.2 Багатоканальна система з нескінченою чергою і обмеженим часом очікування (m/m/n)
- •4.4.3 Система мо з очікуванням і необмеженою чергою (m/m/n; )
- •5 Оптимальні потоки у мережах
- •5.1 Поняття про мережу і основні визначення
- •5.2 Задача про максимальний потік у мережі
- •5.3 Теореми про оптимальні потоки у мережах
- •5.4 Метод розстановки поміток для знаходження максимального потоку
- •5.5 Модифікований метод розстановки поміток для знаходження максимального потоку
- •5.6 Алгоритм Форда-Фалкерсона знаходження максимального потоку
- •6 Багатополюсні максимальні потоки
- •6.1 Умова реалізації
- •6.2 Аналіз мережі
- •7 Найкоротші ланцюги і потоки мінімальної вартості
- •7.1 Найкоротші ланцюги
- •7.2 Багатополюсні найкоротші ланцюги
- •7.3 Багатополюсні ланцюги максимальної пропускної здатності
- •7.4 Потоки мінімальної вартості
3 Математична модель системи мо з кінцевим числом станів
3.1 Зворотні та прямі рівняння Колмогорова
Допустимо, як і раніше, що перехідні ймовірності стаціонарні, тобто
.
Крім того, допустимо, що простір станів S кінцевий .
Марківські властивості вимагають, щоб задовольняли умовам:
а) ,
б) ,
в) - рівняння Колмогорова-Чепмена,
г)
Якщо позначити через матрицю з елементами , , то умову (в) можна записати компактніше, як добуток двох матриць
,
тобто матриці та - комутативні. З врахуванням умови (г) , де - одинична матриця.
Для неперервних (t - неперервне) марківських ланцюгів з нескінченим (пронумерованим) числом станів існують границі
(3.1)
, , (3.2)
де , , тобто завжди мають кінцеве значення, а можуть приймати і нескінчено великі значення.
Рівняня (3.1) і (3.2) можна об’єднати в одне матричне рівняння
, (3.3)
де - так звана інфінітизімальна матриця:
.
Знайдемо
.
Перейдемо до граничних значень в лівій і правій частинах останнього рівняння, коли . Оскільки , а згідно формули (3.3) , то
. (3.4)
Аналогічно отримаємо
.
Якщо тепер перейти до граничних значень, то
. (3.5)
Рівняння (3.4) і (3.5) будуть відповідно зворотнім та прямим рівняннями Колмогорова.
Із матричного рівняння (3.4) випливає, що
. (3.6)
В рівнянні (3.6) розкриємо оператор суми. В результаті отримаємо
. (3.7)
Якщо рівняння (3.7) порівняти із рівнянням (2.3), то приходимо до висновку, що , і в інших випадках. Як і раніше ; , , . Змінюючи і в числах від 0 до N, знайдемо інфінітизімальну матрицю для кінцевого числа станів системи, коли її модель подана у вигляді системи зворотних диференціальних рівнянь. Отже,
.
Аналогічно (3.6) із матричного рівняння (3.5) отримаємо
. (3.8)
Рівняння (3.8) подамо в розгорнутому вигляді
, (3.9)
Порівнюючи рівняння (3.9) з рівнянням (2.4) приходимо до висновку, що , і для інших значень i та j. Крім того , ; .
Змінюючи j в межах від 0 до N знаходимо інфінітезимальну матрицю системи МО, яка має кінцеве число станів. Отже, для прямого рівняння Колмогорова маємо
. (3.9)
.
Матричні рівняння (3.4) і (3.5) з початковою умовою мають такий розв’язок:
. (3.10)
Матрична функція носить назву фундаментальної матриці. Її розв’язок можна знайти, використавши метод Келі-Гамільтона у відповідності з яким
, (3.11)
де n – розмір квадратної матриці А.
Коефіцієнти є розв’язком системи лінійних алгебраїчних рівнянь
.
де - характеристичні числа матриці А, які можна знайти розв’язавши рівняння
. (3.12)
Для випадку, коли серед коренів характеристичного рівняння (3.12) є корінь кратності r, коефіцієнти обчислюються із системи рівнянь
,
,
де .
Приклад 3.1. Для системи масового обслуговування з кінцевим числом станів , інтенсивністю вхідного потоку і інтенсивністю обслуговування визначити зміну перехідних ймовірностей в часі, якщо .
Математичну модель такої системи масового обслуговування запишемо в матрично-векторній формі . Інфінітезимальна матриця системи
.
Матричне рівняння з початковою умовою має такий розв’язок: . Подальші обчислення здійснюємо, використовуючи програмний продукт MathCAD (рис. 3.1).
Рисунок 3.1 – Програма розв'язку математичної моделі системи масового обслуговування