Введение.

Сигнал – это физический процесс переноса информации во времени и пространстве.

Обработка сигнала – это преобразование с целью представления содержащийся в нём информации в наиболее удобной форме.

Обработка информации осуществляется с помощью аналоговых, цифровых и гибридных устройств.

Цифровая обработка сигнала(ЦОС) – основывается на представлении чисел в виде последовательности и может осуществляться с помощью универсальных цифровых компьютеров или цифровых процессов, реализующих ЦОС в реальном масштабе времени.

1. Элементы теории сигналов и систем.

   1. Классификация сигналов.

Сигналы классифицируются по следующим признакам :

1)

одномерные;

многомерные;(количество переменных больше 2х)

2)

Основанные на возможности или не возможности точного предсказания значения сигнала в любой точке пространственных координат.

V

V

В 1-ом случае сигнал детерминированный, а во 2-м – случайный сигнал описывается случайной функцией .Случайно функцию времени называют случайным процессом.

t

t

а)детерминированная функция, б)случайная

(периодичная)

Дискретизация сигнала заключается в замене непрерывных значений дискретными значениями и может осуществляться во времени, по уровню и во времени и уровню.

2. Преобразование Фурье непрерывных сигналов.

   1. Разложение периодических сигналов в ряд Фурье.

Сигналы (t) называется периодичным, если x(t) = X(t+nT),

где

n = 1,2…;

T-период сигнала;

Примером периодичности сигнала является гармонические колебания, которые описываются следующим образом:

x(t) = A*cos(ωt- φ);

A – амплитуда сигнала;

ω – круговая частота

φ- начальная фаза сигнала

t – период

ω = 2πf; f = ; T = ;

Сложение гармоник сигналов может быть представлено кратными частотами ω, 2 ω, образующих сигнал вида:

x(t) = + +…;

Тогда, суммарный сигнал будет периодический и будет определяться следующим уравнением:

X(t) = (1)

ω₁ – круговая частота 1-ой гармоники

В теории сигналов доказано, что периодический сигнал X(t) сложной формы, может быть разложен на элементарные гармонические колебания с амплитудой А_к с частотой kω₁t и сдвигом(начальным) по фазе φ_k.

Разложим периодический сигнал:

A_k*cos(kω₁t – φ_k)=A_k*cos(kω₁t)*cos φ_k + A_k *sin(kω₁t)*sin φ_k;

Подставим

A_k*cos φ_k = a_k;

A_k sin φ_k = b_k;

Тогда, выражение (1) записанное с учётом нулевой гармоники, примет вид:

X(t) = + , (2)

где - нулевая гармоника;

Выражение (2) это разложение периодического сигнала в ряд Фурье.

Коэффициенты ряда Фурье определяются следующим образом:

a₀ = * ;

a_k = * ;

b_k = * ;

A_k =

Если x(t) – чётная функция на интервале [-T/2;T2], тогда

-> чётная функция, тогда

-> не чётная функция.

Тогда в этом случае коэффициент b_k ряда Фурье равен 0.

Если x(t) – не чётная функция, то все наоборот, и а_k = 0;

Совокупность А_к и φ_k разложенные периодические функции(1) представляют амплитудные и фазовые периоды сигналов функции вида:

cosω₁t, sinω₁t, cos2ω₁t, sin2ω₁t, …, coskω₁t, sinkω₁t

Сумма функции, которая используется в разложении (2) обладает свойством заключающемся в том, что интеграл произведений любых 2-х функций на периоде T = 0 :

;

;

;

;

p – действительное число

l – натуральное число.

Представление в полной записи называется ортогональностью, а разложение (2) X(t) по ортогональному базису функции выражения (1).