3. Понятие “строго стационарного процесса”.

Случайный процесс, строго стационарен, если его многомерная плотность вероятности P(X₁,X₂,…,X_n,t₁,t₂,…,t_n) не изменяется при одновременном сдвиге всех временных сечений.

P(X₁,X₂,…X_n,t₁+τ,t₂+τ,…,t_n+τ)

Белым шумом называется стационарный случайный процесс, спектральная плотность и мощность которого постоянна на всех частотах.

W(ω)=W₀=const.

Согласно теореме Винера-Хитчера корреляционная функция белого шума представляет, следующие:

R(τ)= * dω= W₀ *σ(τ)

То, есть функция равна 0 всюду кроме точки τ= 0

Дисперсия белого шума – бесконечно велика.

Несовпадающие моменты времени значение белого шума некоррелированное, как бы не был мал интервал τ, причем сигнал за это время может измениться на любую величину.

Белый шум - это абстрактная математическая модель и физически существовать не может, что объясняется бесконечностью его дисперсии.

5. Фильтры низких частот.

   1. Фильтры низкой частоты Баттерворта.

АЧХ фильтра:

K(ω) = ,

где

ω₀ – частота среза(для фильтра прототипа она равна 1рад/с)

n – порядок фильтра

Передаточная функция:

2. Фильтры Чебышева.

АЧХ фильтра:

K(ω) = ,

где

ω₀ – частота среза

T_n(x) – полином Чебышева n-го порядка

n – порядок фильтра

ε – параметр, определяющий величину пульсаций АЧХ в полосе пропускания

Передаточная функция:

где  — только те полюса, которые имеют отрицательную действительную часть.

3. Инверсный фильтр Чебышева

АЧХ фильтра:

K(ω) = ,

где

ω₀ – частота среза

T_n(x) – полином Чебышева n-го порядка

n – порядок фильтра

ε – параметр, определяющий величину пульсаций АЧХ в полосе пропускания

Передаточная функция:

Передаточная функция задаётся при помощи полюсов в левой полуплоскости комплексной плоскости, её нули совпадают с нулями модуля амплитудной характеристики, с тем лишь отличием, что их порядок равен 1.

4. Фильтр Кауэра

АЧХ фильтра:

K(ω) = ,

где

ω₀ – частота среза

R_n(…) – рациональная функция Чебышева n-го порядка

n – порядок фильтра

ε и L – параметр, определяющий величину пульсаций АЧХ в полосах пропускания и задерживания.

5. Фильтр Бесселя

Передаточная функция:

H(s) =

6. Характеристики случайных сигналов

Случайные сигнал отображаются случайными функциями, значение случайной функции, при каждом значении аргумента – это случайная величина.

Случайную функцию времени называют случайным процессом.

Смещение случайного процесса X(t) в момент t=t₁ – это случайная величина X характеризуемая, одномерной функцией вероятности p(x).

p(x)dx, [x, x+ dx] – это вероятность случайной величины находящейся на интервале [x, x+dx].

Математическое ожидание случайной величины будет определять:

m_x = M{x} = ;

Дисперсией случайной величины X называется средне-квадратическое отклонение этой величины от математического ожидания:

σ_x = ; где D_x = M{(x- m_x)²};

7. Корреляционная функция случайного процесса

Случайный процесс X(t) называется стационарным, если его статические характеристики не зависят от начала отчета времени.

m_x(t) = M_x;

D_x(t) = D_x;

K_x(t₁,t₂) = K_x(τ), где τ = t₂-t_1;