5. Дискретные преобразования Лапласа и z-преобразования.

Для дискретной последовательности x[n] вводится дискретное преобразование Лапласа.

x( ) =

p=σ+j*ω

При анализе и синтезе систем дискретной обработки сигналов используют Z-преобразование, связанное с дискретным преобразованием Лапласа и вытекающее из него:

X (Z) = Z { X(n)} =

(18) – прямое Z-преобразование.

Обратное Z-преобразование :

(19)

6. Основные свойства z-преобразований.

1)Линейность:

x[n] = a­₁*λ₁(n)+a₂*λ₂(n)

Z-преобразование линейной комбинации нескольких (2-х) дискретных сигналов представляет собой минимальную комбинацию X(Z) преобразований.

x[Z] = a­₁*λ₁(Z)+a₂*λ₂(Z)

2)Z-преобразование смещённого сигнала.

Для сигнала x[n-m], где m- число тактов запаздывания, справедливо следующее неравенство:

3)Z-преобразование свёртки.

Для дискретных сигналов по аналогии с непрерывной функцией, вводится свёртка дискретной последовательности x[n] и h[n], справедлива :

7. Линейные дискретные системы и цифровые фильтры

В линейных дискретных схемах осуществляется преобразования входных последовательностей X[n]->Y[n] в выходную.

Дискретные системы могут быть заданы композицией из 3-х элементов:

1. Cумма последовательностей.

2. Цифровой носитель не постоянного коэффициента А.

3. Электронные задержки.

Схема состоит из этих 3-х элементов это линейно дискретная схема ЛСД

1. Линейно дискретный фильтр (лдф)

• +ф+_ы

Инвариантная к сдвигу схема для которой сдвиг. входной последовательности на m-тактов приводит к сдвигу выходной последовательности: Y[n-m]=L{x[n-m]}, где L-операция преобразования ЛДС. Реакция ЛСД на единичный импульс называется импульсной характеристикой.

Рассмотрим инвариантную к сдвигу ЛДС, преобразованную из базовых элементов:

y[n-1]

x[n-1]A+x[n]=y[n-1]

В общем случае инвариантная. к сдвигу ЛДС построенная на основе базовых эл. функций. на основе разностного уровня

Y[n]= B[k] x[n-k] - A[k]y[n-k] (20)

B[k] и A[k]-постоянные коэффициенты.

Цифровое устройство реализующие 20-цифровой фильтр использует известный коэффициент B[k] и A[k]- отчёты входной последовательности назначается значение функции y[n-k], используя 20 можно вычислить y[n] и для случая когда n>=0, фильтр функции на основе 20 наз. рекурсивным.

Структурная схема рекурсивного фильтра:

Т

Т

Т

Т

Т

Т

33

; ; .. ; ; ..

Если в уровне 20, a(k)=0, то в этом случае фильтр будет не рекурсивным.

Характеристикой рассматриваемых фильтров есть передаточная функция H(z)

H(z)=

Выполнив z-преобразования над левой и правой частями уравнения (20), получим передаточную функцию рекурсивного фильтра:

Для не рекурсивного фильтра:

Существует несколько форм реализации рекурсивных фильтров:

1. Прямая

2. Каноническая (когда равны и числитель и знаменатель, и когда равны пределы)

3. Последовательная

4. Параллельная