3.1.2. Основні застосування методу координат на площині.

Відстань між двома точками

Потрібно знайти відстань d, між точками і площині Оху.

○ Шукана відстань d рівна довжині вектора , тобто

.●

Поділ відрізка в даному відношенні

Потрібно поділити відрізок АВ, що сполучає точки і в заданому відношенні > 0, тобто знайти координати точки М(х;у) відрізка АВ такий, що (див. рис. 4).

○ Розглянемо вектори і . Точка М ділить відрізок АВ у відношенні, якщо

. (1.1)

Але , тобто і , тобто . Рівняння (9.1) приймає вигляд

рис. 4.

Враховуючи, що у рівних векторів рівні координати, отримуємо

, тобто (1.2)

, тобто (1.3)

Формули (1.2) і (1.3) називаються формулами ділення відрізка в даному відношенні. Зокрема, при = 1, тобто якщо АМ = МВ, то вони приймуть вигляд

. . В цьому випадку точка М(x; у) є серединою відрізка АВ.●

Зауваження: Якщо = 0, то це означає, що точки A і М співпадають, якщо < 0, то точка М лежить поза відрізком АВ — говорять, що точка М ділить відрізок АВ зовнішнім чином ( , оскільки інакше тобто АM + MB = 0, тобто АВ=0).

Площа трикутника

Потрібно знайти площу трикутника ABС з вершинами А(х₁;у₁), B(х₂;у₂), С(х₃; у₃).

○ Опустимо з вершин А, В, C перпендикуляри АА₁,

.

ВВ₁, СС₁ на вісь Ох (див. рис. 5). Очевидно, що

.

Тому

тобто

.●

Зауваження: Якщо при обчисленні площі трикутника отримаємо , то це означає, що точки А, В, С лежать на одній прямій, якщо ж отримаємо негативне число, то слід узяти його модуль.

3.1.3. Перетворення системи координат.

Перехід від однієї системи координат в яку-небудь іншу називається перетворенням системи координат.

Розглянемо два випадки перетворення однієї прямокутної системи координат в іншу. Отримані формули встановлюють залежність між координатами довільної точки площини в різних системах координат.

Паралельне перенесення осей координат

Нехай на площині задана прямокутна система координат Оху. Під паралельним перенесенням осей координат розуміють перехід від системи координат Оху до нової системи, при якому міняється положення початку координат, а напрям осей і масштаб залишаються незмінними.

рис. 6.

Нехай початок нової системи координат точка O₁ має координати (x₀;y₀) в старій системі координат Oxу, тобто O₁(x₀;y₀). Позначимо координати довільної точки М площини в системі Оху через (x;y), а в новій системі O₁x₁y₁ через (x'; у') (див. рис. 6).

Розглянемо вектори

, , .

Оскільки , то , тобто

.

Отже

Отримані формули дозволяють знаходити старі координати х і у по відомих новим х' і у' та навпаки.

Поворот осей координат

рис. 7.

Під поворотом осей координат розуміють таке перетворення координат, при якому обидві осі повертаються на один і той же кут, а початок координат і масштаб залишаються незмінними.

Нехай нова система отримана поворотом системи Оху на кут .

Нехай М — довільна точка площини, (х; у) — її координати в старій системі і (х';у') — в новій системі.

Введемо дві полярні системи координат із загальним полюсом О і полярними осями Ох і Оx₁ (масштаб однаковий). Полярний радіус в обох системах однаковий, а полярні кути відповідно рівні і, де — полярний кут в новій полярній системі.

По формулах переходу від полярних координат до прямокутних маємо

тобто

Але . Тому

Отримані формули називаються формулами повороту осей. Вони дозволяють визначати старі координати (х; у) довільної точки М через нові координати (х'; у') цієї ж точки М, і навпаки.

рис. 8.

Якщо нова система координат отримана із старої Оху шляхом паралельного перенесення осей координат і подальшим поворотом осей на кут (див. рис. 8), то шляхом введення допоміжної системи легко отримати формули

виражаючи старі координати х і у довільної точки через її нові координати х' і у'.