- •Змістовий модуль 3 елементи аналітичної геометрії
- •Тема 3.1. Система координат на площині.
- •Тема 3.2. Лінії на площині.
- •Тема 3.3. Лінії другого порядку на площині.
- •3.1.2. Основні застосування методу координат на площині.
- •Площа трикутника
- •3.1.3. Перетворення системи координат.
- •Тема 3.2. Лінії на площині.
- •3.2.1. Основні поняття.
- •3.2.2. Рівняння прямої на площині.
- •3.2.3. Пряма лінія на площині. Основні задачі.
- •Тема 3.3. Лінії другого порядку на площині.
- •3.3.1. Основні поняття
- •3.3.2. Коло
- •3.3.4. Гіпербола
- •3.3.5. Парабола
- •3.3.6. Загальне рівняння лінії другого порядку
Тема 3.2. Лінії на площині.
3.2.1. Основні поняття.
Лінія на площині розглядається (задається) як множина точок, що має певні і притаманні тільки їм геометричні властивості. Наприклад, коло радіусом R це множина всіх точок площини, віддалених на відстань R від деякої фіксованої точки О (центра кола).
Введення на площині системи координат дозволяє визначати положення точки площини завданням двох чисел — її координат, а положення лінії на площині визначається за допомогою рівняння (тобто рівність, що зв'язує координати точок лінії).
Рівняння лінії (або кривої) на площині Оху називається таке рівняння F(х;у)=0 з двома змінними, якому задовольняють координати х і у кожної точки лінії і не задовольняють координати будь-якої точки, які не лежать на цій лінії.
Змінні x і у в рівнянні лінії називаються поточними координатами точок лінії.
Рівняння лінії дозволяє вивчення геометричних властивостей лінії замінити дослідженням його рівняння.
Так, для того, щоб встановити чи лежить точка A(x0; y0) на даній лінії, досить перевірити (не вдаючись до геометричних побудов), чи задовольняють координати точки А рівнянню цієї лінії у вибраній системі координат.
Приклад 2.1.: Чи лежать точки К(—2; 1) і L(1; 1) на лінії ?
○ Підставивши в рівняння замість xіу координати точки К, отримаємо . Отже, точки К лежить на даній лінії. Точка L не лежить на даній лінії, оскільки .●
Завдання про знаходження точок перетину двох ліній, заданих рівняннями F1(х; у)=0 і F2(х; у)=0, зводиться до відшукування точок, координати яких задовольняють рівняння обох ліній, тобто зводиться до розв’язку системи двох рівнянь з двома невідомими:
Якщо ця система не має дійсних розв’язок, то лінії не перетинаються.
Аналогічним чином вводиться поняття рівняння лінії в полярній системі координат.
Рівняння F( ; )=0 називається рівнянням даної лінії в полярній системі координат, якщо координати будь-якої точки, лежать на цій лінії, і лише вони, задовольняють це рівняння. Лінію на площині можна задати за допомогою двох рівнянь:
(2.1)
де х і у — координати довільної точки М(х; у), які лежать на даній лінії, а t — змінна, називається параметром; параметр t визначає положення точки (х; у) на площині.
Наприклад, якщо , у, то значенню параметра відповідає на площині точка з координатами (3; 4), оскільки , .
Якщо параметр t змінюється, то точка на площині переміщається, описуючи дану лінію. Такий спосіб завдання прямої називається параметричним, а рівняння (2.1) — параметричними рівняннями лінії.
Щоб перейти від параметричних рівнянь лінії до рівняння виду F(х;у)=0, треба яким-небудь чином з двох рівнянь виключити параметр t. Наприклад, від параметричних рівнянь шляхом підстановки в друге рівняння, легко отримати рівняння або , тобто виду F(х; у)= 0. Проте, відмітимо, такий перехід не завжди доцільний і не завжди можливий.
рис. 9.
Лінію на площині можна задати векторним рівнянням, де t — скалярний змінний параметр. Кожному значенню t0 відповідає певний вектор площини. При зміні параметра t кінець вектора опише деяку лінію (див. рис. 9).
Векторному рівнянню лінії в системі координат Оху відповідають два скалярні рівняння (2.1), тобто рівняння проекцій на осі координат векторного рівняння лінії є її параметричні рівняння.
Векторне рівняння і параметричне рівняння лінії мають механічний сенс. Якщо точка переміщається на площині, то вказані рівняння називаються рівняннями руху, а пряма — траєкторією точки, параметр t при цьому є час.
Отже, всякій лінії на площині відповідає деяке рівняння виду F(х; у)= 0.
Всякому рівнянню виду F(х; у)= 0 відповідає, взагалі кажучи, деяка лінія, властивості якої визначаються даним рівнянням (вираз «взагалі кажучи» означає, що сказане допускає виключення. Так, рівнянню (х-2)2+(у-3)2=0 відповідає не лінія, а точка (2;3); рівнянню на площині не відповідає ніякий геометричний образ).
У аналітичній геометрії на площині виникають два основні завдання. Перше: знаючи геометричні властивості кривої, знайти її рівняння; друге: знаючи рівняння кривої, вивчити її форму і властивості. На малюнках 10-18 приведені приклади деяких кривих і вказані їх рівняння.
або
рис. 10. Коло радіусом R
рис. 11. Лемніската Бернуллі рис. 12. Трьохпелюсткова роза Рівняння в прямокутних координатах: У полярних координатах її рівняння (х2+у2)2– 2(х2–у2)=0, > 0; має вигляд, де >0.
у полярних координатах: .
рис. 13. Равлик Паскаля
Рівняння в полярних координатах має вигляд .
рис. 14. Напівкубічна парабола рис. 15. Астроїда
Рівняння кривої у2 = х3 або Рівняння в прямокутних координатах: ; параметричні рівняння:
рис. 16. Кардіоїда рис. 17. Спіраль Архімеда
Рівняння в полярних координатах рівняння кривої в полярних
має вигляд , координатах,
де . Кардіоїда — окремий випадок де - постійне.
равлика Паскаля ( ).
рис. 18. Циклоїда
Параметричні рівняння циклоїди мають вигляд де а > 0.
Циклоїда — це крива, яку описує фіксована точка кола, що котиться без ковзання по нерухомій прямій.