- •Змістовий модуль 3 елементи аналітичної геометрії
- •Тема 3.1. Система координат на площині.
- •Тема 3.2. Лінії на площині.
- •Тема 3.3. Лінії другого порядку на площині.
- •3.1.2. Основні застосування методу координат на площині.
- •Площа трикутника
- •3.1.3. Перетворення системи координат.
- •Тема 3.2. Лінії на площині.
- •3.2.1. Основні поняття.
- •3.2.2. Рівняння прямої на площині.
- •3.2.3. Пряма лінія на площині. Основні задачі.
- •Тема 3.3. Лінії другого порядку на площині.
- •3.3.1. Основні поняття
- •3.3.2. Коло
- •3.3.4. Гіпербола
- •3.3.5. Парабола
- •3.3.6. Загальне рівняння лінії другого порядку
3.2.2. Рівняння прямої на площині.
Найпростішою з ліній є пряма. Різним способам завданням прямої відповідають в прямокутній системі координат різні види її рівнянь.
Рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом
Нехай на площині Оху задана довільна пряма, не паралельна осі Оу. Її положення цілком визначається ординатою b точки N(0; b) перетину з віссю Оу і кутом а між віссю Ох і прямій (див. рис. 19).
Під кутом нахилу прямої розуміється найменший кут, на який потрібно повернути навколо точки перетину прямої і осі Ох проти годинникової стрілки вісь Ох до її збігу з прямій.
рис. 19.
Візьмемо на прямій довільну точку М(х;у) (див. рис. 19). Проведемо через точку N вісь , паралельну осі Ох і однаково з нею направлену. Кут між віссю і прямою рівний . У системі точка М має координати х і у - b. З визначення тангенса кута виходить рівність , тобто . . Введено позначення , отримуємо рівняння
(2.2)
яке задовольняє координати будь-якої точки М(х;у) прямої. Можна переконатися, що координати будь-якої точки Р(х;у), лежить поза даною прямою, рівнянню (2.2) не задовольняють.
Число , називається кутовим коефіцієнтом прямої, а рівняння (2.2) - рівнянням прямої з кутовим коефіцієнтом.
Якщо пряма проходить через початок координат, то і, отже, рівняння цієї прямої матиме вигляд .
Якщо пряма паралельна осі Ох, то , отже, і рівняння (2.2) прийме вигляд
.
Якщо пряма паралельна осі Оу, то, рівняння (2.2) втрачає сенс, оскільки для неї кутовий коефіцієнт не існує.
В цьому випадку рівняння прямої матиме вигляд
(2.3)
де а - абсциса точки перетину прямої з віссю Ох. Відзначимо, що рівняння (2.2) і (2.3) є рівняння першого ступеня.
Загальне рівняння прямої
Розглянемо рівняння першого ступеня відносно х і у в загальному вигляді
(2.4)
де A, В, С - довільні числа, причому А і В не рівні нулю одночасно.
Покажемо, що рівняння (2.4) є рівняння прямої лінії. Можливі два випадки.
Якщо , то рівняння (2.4) має вигляд , причому , тобто . Це є рівняння прямої, паралельної осі Оу і що проходить через точку .
Якщо , то з рівняння (2.4) отримуємо . Це є рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом .
Отже, рівняння (2.4) є рівняння прямої лінії, воно називається загальним рівнянням прямої.
Деякі окремі випадки загального рівняння прямої:
1) якщо , то рівняння приводиться до вигляду . Це є рівняння прямої, паралельною осі Ох;
2) якщо , то пряма паралельна осі Oy;
3) якщо , то отримуємо . Рівнянню задовольняють координати точки O(0;0), пряма проходить через початок координат.
Рівняння прямої, що проходить через дану точку в даному напрямі
Нехай пряма проходить через точки і її напрям характеризується кутовим коефіцієнтом k. Рівняння цієї прямої можна записати у вигляді у=kx+b, де b — поки невідома величина. Оскільки пряма проходить через точку , то координати точки задовольняють рівнянню прямої: . Звідси . Підставляючи значення b в рівняння , отримаємо шукане рівняння прямої , тобто
(2.5)
Рівняння (2.5) з різними значеннями k називають також рівняннями пучка прямих з центром в точці . З цього пучка не можна визначити лише пряму, паралельну осі Оу.
Рівняння прямої, що проходить через дві точки
Нехай пряма проходить через точки і . Рівняння прямої, що проходить через точку має вигляд
(2.6)
де k — поки невідомий коефіцієнт.
Оскільки пряма проходить через точку , то координати цієї точки повинні задовольняти рівнянню (2.6): .Звідси знаходимо . Підставляючи знайдене значення k в рівняння (2.6), отримаємо рівняння прямої, що проходить через точки М1 і М2:
(2.7)
Передбачається, що в цьому рівнянні .
Якщо x2=x1, то пряма, що проходить через точки і , паралельна осі ординат. Її рівняння має вид х = х1.
Якщо у2 = у1, то рівняння прямої може бути записане у вигляді у = у1, пряма М1М2 паралельна осі абсцис.
Рівняння прямої у відрізках
Н ехай пряма перетинає вісь Ох в точці М1(а; 0), а вісь Оу — в точці М2(0; b) (див. рис. 20). В цьому випадку рівняння (2.7) прийме вигляд
тобто .
Ц
рис. 20.
е рівняння називається рівнянням прямої у відрізках, оскільки числа а і b показують, які відрізки відсікає пряма на осях координат.Рівняння прямої, що проходить через дану точку перпендикулярно даному вектору
Знайдемо рівняння прямої, що проходить через задану точку М0(x0; y0) перпендикулярно даному ненульовому вектору .
В ізьмемо на прямій довільну точку M(x; у) і розглянемо вектор =(x–x0;у–y0), (див. рис. 21). Оскільки вектори і перпендикулярні, то їх скалярний добуток рівний нулю: , тобто
(2.8)
рис. 21.
Рівняння (2.8) називається рівнянням прямої, що проходить через задану точку перпендикулярно заданому вектору.
Вектор , перпендикулярний прямій, називається нормальним вектором цієї прямої. Рівняння (2.8) можна переписати у вигляді
(2.9)
де А і В — координати нормального вектора, - вільний член. Рівняння (2.9) є загальне рівняння прямої (див. (2.4)).
Полярне рівняння прямої
З найдемо рівняння прямої в полярних координатах. Її положення можна визначити, вказавши відстань р від полюса О до даної прямої і кут а між полярною віссю ОР і віссю l, що проходить через полюс О перпендикулярно дану пряму (див. рис. 22).
Д
рис. 22.
ля будь-якої точки на даній прямій маємо:
.
З іншого боку,
Отже
. (2.10)
Отримане рівняння (2.10) і є рівняння прямої в полярних координатах.
Нормальне рівняння прямої
Нехай пряма визначається заданням р і а (див. рис. 23). Розглянемо прямокутну систему координат Оху. Введемо полярну систему, взявши О за полюс і Ох за полярну вісь. Рівняння прямої можна записати у вигляді
тобто
рис. 23.
Але, через формули, що зв'язують прямокутні і полярні координати, маємо: , . Отже, рівняння (2.10) прямої в прямокутній системі координат прийме вигляд
. (2.11)
Рівняння (2.11) називається нормальним рівнянням прямої.
Покажемо, як привести рівняння (2.4) прямої до вигляду (2.11).
Помножимо всі члени рівняння (2.4) на деякий множник . Отримаємо . Це рівняння повинне звернутися в рівняння (2.11). Отже, повинна виконуватися рівність: , , . З першої двох рівності знаходимо, тобто Множник називається нормуючим множником. Згідно третьої рівності знак нормуючого множника протилежний знаку вільного члена із загального рівняння прямої.
Приклад 2.2. Привести рівняння –3x + 4у + 15 = 0 до нормального вигляду.
○ Знаходимо нормуючий множник . Помноживши дане рівняння на, отримаємо шукане нормальне рівняння прямої: .●