3.3.4. Гіпербола

Канонічне рівняння гіперболи

Гіперболою називається множина всіх точок площини. Модуль різниці відстаней від кожної з яких до двох даних точок цієї площини, що називаються фокусами, є величина постійна, менша за відстань між фокусами.

П означимо фокуси через F₁ і F₂ , відстань між ними через 2с, а модуль різниці відстаней від кожної точки гіперболи до фокусів через 2а. За означенням 2а<2с, тобто а<с.

Д

рис. 31.

ля виводу рівняння гіперболи виберемо систему координат Оху так, щоб фокуси F₁ і F₂ лежали на осі Ох, а початок координат співпав з серединою відрізка F₁F₂ (див. рис. 31). Тоді фокуси будуть мати координати F₁(-с;0) і F₂(с;0).

Нехай М(х; у) — довільна точка гіперболи. Тоді, згідно означенню гіперболи,

|МF₁–МF₂|=2а або МF₁–МF₂=±2a, тобто . Після спрощень, як це було зроблено при виводі рівняння еліпса, отримаємо канонічне рівняння гіперболи.

, (3.9)

де

. (3.10)

Гіпербола є лінією другого порядку.

Дослідження форми гіперболи за її рівнянням

Установимо форму гіперболи , використовуючи її канонічне рівняння.

1. Рівняння (3.9) містить х і у тільки в парних степенях. Відповідно, гіпербола симетрична відносно осей Ох і Оу, а також відносно точки O(0; 0), яку називають центром гіперболи.

2. Знайдемо точки перетину гіперболи з осями координат. Поклавши у = 0 в рівнянні (11.9), знайдемо дві точки перетину гіперболи з віссю Ох: A₁(a;0) і A₂(-а;0). Поклавши в (3.9), отримаємо у² = -b², чого не може бути. Відповідно, гіпербола вісь Оу не перетинає.

Точки А₁(а;0) і A₂(-а;0) називаються вершинами гіперболи, а відрізок А₁А₂=2а — дійсною віссю, відрізок ОА₁=ОА₂=а — дійсною піввіссю гіперболи.

Відрізок В₁В₂ (В₁В₂ = 2b), що з’єднує точки В₁(0;b) і В₂(0;-b) називається уявною віссю, число b — уявною піввіссю. Прямокутник зі сторонами 2а і 2b називається основним прямокутником гіпер­боли.

3. З рівняння (3.9) випливає, що зменшуване не менше за одиницю, тобто що або . Це означає, що точки гіперболи розташовані справа від прямої х=а (права гілка гіперболи) і зліва від прямої х = - а (ліва гілка гіперболи).

4 . З рівняння (3.9) гіперболи видно, що коли |х| збільшується , то і |у| збільшується. Це випливає з того, що різниця зберігає постійне значення, рівне одиниці.

І

рис. 32.

з сказаного випливає, що гіпербола має форму, зображену на рис. 32 (крива, яка складається з двох необмежених гілок).

рис. 33.

рис. 34.

Асимптоти гіперболи

Пряма L називається асимптотою необмеженої кривої К, якщо відстань d від точки М кривої К до цієї прямої прямує до нуля при необмеженому віддаленні точки М вздовж кривої К віл початку координат. На рис. 33 наведена ілюстрація поняття асимптоти: пряма L являється асимптотою для кривої K.

Покажемо, що гіпербола має дві асимптоти:

і . (3.11)

Оскільки прямі (3.11) і гіпербола (3.9) симетричні відносно координатних осей, то достатньо розглянути тільки ті точки указаних ліній, які розташовуються в першій чверті.

Візьмемо на прямій точку N , що має ту ж абсцису. Що і точка М(x;y) на гіперболі (див. рис. 34), і знайдемо різницю MN між ординатами прямої і гілки гіперболи:

рис. 34.

Як видно, по мірі росту х знаменник дробу збільшується; чисельник – є постійна величина. Тобто, довжина відрізка МN прямує до нуля. Оскільки MN біль­ше за відстань d від точки М до пря­мої, то d тим більше прямує до нуля. Так, прямі

являються асимптотами гіперболи (11.9).

При побудові гіперболи (11.9) зручно спочатку побудувати основний прямокутник гіперболи (див. рис. 35), провести прямі, що проходять через протилежні вершини цього прямокутника

рис. 35.

, — асимптоти гіперболи і відмітити вершини А₁ і A₂ гіперболи.

Рівняння рівносторонньої гіперболи, асимптотами якої є координатні осі.

Гіпербола (3.9) називається рівносторонньою, якщо її піввісь рівні (а = b). ЇЇ канонічне рівняння

. (3.12)

Асимптоти рівносторонньої гіперболи мають рівняння у=х і у=–х і, відповідно, являються бісектрисами координатних кутів.

Розглянемо рівняння цієї гіперболи в новій системі координат (див. мал. 36), отриманої з старої поворотом осей координат на кут . Використаємо формули повороту осей координат:

Підставляємо значення х і у в рівняння (3.12):

,

, , або ,

де .

Рівняння рівносторонньої гіперболи, для якої вісі Ох і Оу явля­ються асимптотами, буде мати вигляд .

Додаткові відомості про гіперболу

Ексцентриситетом гіперболи (3.9) називається відношення відстані між фокусами і величиною дійсної осі гіперболи, позначається :

.

Оскільки для гіперболи , то ексцентриситет гіперболи більший за одиницю: . Ексцентриситет характеризує форму гіперболи. Дійсно, з рівності (11.10) слідує, що , тобто і .

Звідси видно. Що чим менший ексцентриситет гіперболи, тим меншим є відношення її півосей, а, значить, тим більш витягнутим є її основний прямокутник.

Ексцентриситет рівносторонньої гіперболи дорівнює . Дійсно,

Фокальні радіуси і для то­чок правої гілки гіперболи мають вигляд і , а для лівої і .

Прямі називаються директрисами гіперболи. Оскільки для гіперболи , то . Це означає, що права директриса розташована між центром і правою вершиною гіперболи, ліва – між центром і лівою вершиною.

Директриси гіперболи мають ту ж властивість , що і директриси еліпса.

Крива, що визначається рівнянням , також є гіперболою, дійсна вісь 2b якої розташована на осі Оу, а уявна вісь 2a — на осі Ох. На рис. 36 вона зображена пунктиром.

О

рис. 36.

чевидно, що гіперболи і мають спільні асимптоти. Такі гіперболи називаються спряженими.