4. Усовершенствованный вариант метода

Основным недостатком методики, приведенной в пункте 2, является практическая неопределимость момента попадания системы в состояние ''d''. Преждевременное перекрывание крана ''К'' приведет к неучиты­ваемому прерыванию адиабатического процесса ''с – d''. Задержка с перекрыванием крана приведет к тому, что вслед за адиабатическим процессом ''с – d'' произойдет неучитываемый процесс изобарического нагревания газа в баллоне.

Для избежания указанного недостатка предлагается исследовать параметры системы при различной длительности упомянутого изобарического нагревания, экстраполировав результаты к нулевой продолжительности этого процесса.

Рис. 4. Процессы, протекающие в реальных условиях

На рис. 4 изобарическому нагреванию газа соответствует процесс ''d – f''. В течение этого процесса давление газа в баллоне остается постоянным и равным атмосферному давлению р₀ , так как кран ''К'' открыт и баллон сообщается с атмосферой. Поскольку после осуществления адиабати­чес­кого процесс ''с – d'' температура газа в баллоне понизилась до Т₂ , которая меньше температуры Т₀ окружающей среды, то в результате теплообмена через стенку баллона будет происходить рост температуры газа в баллоне. Рост температуры при постоянном давлении приведет к увеличению объема рассматриваемой ранее системы, что и отражено на рис. 4.

Спустя время t ,перекроем кран ''K'', чем зафиксируем объём V₃ системы. Дальнейший теплообмен с окружающей средой приведёт к изохорическому процессу ''f – g'', в конце которого система достигает температуры окружающей среды T₀ при давлении P₄. Осуществляя указанную последовательность процессов при различной продолжитель­ности процесса ''d – f'' и экстраполируя результаты к t = 0, получают искомую величину.

Рассмотрим подробнее процессы, происходящие с газом в баллоне, начиная с состояния ''d''. При этом учтём, что теплота, поступающая в баллон, поглощается всем газом, находящимся в баллоне. Поэтому теперь удобнее в качестве исследуемой системы рассматривать не определённое количество газа, как это было до сих пор, а весь газ, находящийся в баллоне. Тогда объём газа в баллоне всё время будет постоянным и равным V_б. Изменяться же могут температура, давление и количество газа в баллоне.

Итак, в состоянии ''d'' (рис. 2) количество газа в баллоне равно ν, этот газ занимает объём V_б и имеет давление P₀ и температуру T₂.

Осуществим изобарический процесс при открытом кране ''K''. Теплообмен с окружающей средой описывается законом Фурье:

δQ = –λ (T–T₀)dt,

где δQ – теплота, полученная газом в баллоне за время dt; Т– температура газа в баллоне в рассматриваемый момент времени, λ – коэффициент, характеризующий теплопроводность стенок баллона. Выражая δQ через молярную теплоёмкость при постоянном давлении (т. к. рассматриваемый процесс изобарический), получим

(24)

Для интегрирования уравнения (24) необходимо представить ν как явную функцию температуры. Для этого запишем уравнение Менделеева– Клапейрона сначала для газов в баллоне в состоянии «д»

, (25)

а затем для некоторого промежуточного состояния, полученного в результате осуществления изобарического процесса

, (26)

где Т и ν – температура и количество газа в баллоне, соответствующие этому промежуточному состоянию. Сопоставим (25) и (26) формулу, тогда получим

. (27)

После подстановки (27) в (24) можно прийти к выражению

.

Интегрируя это выражение в левой части от T₂ до T₃ и в правой части, соответственно, от 0 до t, т.е. в пределах процесса ''d – f'', получим

.

Из сопоставления состояний «а» и «д» имеем:

,

что после потенцирования предыдущего выражения дает

(28)

Преобразуем выражение (28) таким образом, чтобы отношения температур фигурировало отношение давлений (что связано с возможностью соответствующих измерений). Для этого сначала обратимся к процессу ''f – g''. Ввиду изохоричности процесса параметры состояний ''f'' и ''g'' связаны отношением:

(29)

Теперь обратимся к адиабатическому процессу ''с – d''. Температуры и давления в этом процессе связаны соотношением (20), откуда

. (30)

Подставляя (29) и (30) в (28), получаем

. (31)

Преобразуем коэффициент при экспоненте следующим образом:

(заметим, что дробь в скобках мала по сравнению с единицей, что позволяет после разложения в ряд Тейлора ограничиться двумя членами разложения)

.

Теперь (31) можно представить в виде

.

После логарифмирования имеем

.

Оценивая вклад каждого из членов в сумму левой части выражения (32), нетрудно прийти к выводу о малости второго слагаемого по сравнению с другими, что позволяет пренебречь этим слагаемым. Итак, имеем:

.

Выражение (33) представляет собой линейную зависимость от длительности изохорического процесса . Нахождение этой зависимости из эксперимента дает возможность определить постоянные и , что в свою очередь, позволяет сделать дальнейшие расчеты, в частности определить γ.

Об измерении разности давлений с помощью U-образного манометра.

Для измерения небольших разностей давлений применяют U- образные жидкостные манометры. Такой манометр представляет собой две вертикальные сообщающиеся стеклянные трубки. Трубки располагают на фоне шкалы, которую обычно градуируют в мм. Схема манометра изображена на рис. 5. Трубки манометра заполняют примерно наполовину какой-либо жидкостью с известной плотностью, чаще всего ртутью или водой. Следует знать, что пары ртути ядовиты, поэтому применение приборов, содержащих ртуть в школах и учебных лабораториях вузов запрещено.

Рис. 5. Схема водяного манометра

Обычно с помощью U–образного манометра определяют разность между атмосферным давлением и давлением газа в некотором сосуде. В этом случае одна из трубок (на рис. 3 – левая) открыта в атмосферу, а другая соединена с сосудом. Если давление газа в сосуде равно атмосферному давлению P₀ , то уровни жидкости в трубах манометра одинаковы – закон сообщающихся сосудов.

Пусть в сосуде давление возрастет до значения P′. Тогда жидкость начнет вытесняться из правой трубки в левую. При этом высота столба жидкости в левой трубке будет больше, чем высота столба жидкости в правой трубке. Поэтому из-за неравенства столбов жидкости в трубах манометра возникает разность гидростатических давлений в них. По мере роста столба жидкости в левой трубке, по сравнению с правой, будет расти разность гидростатических давлений. Этот процесс будет продолжаться до тех пор, пока разность гидростатических давлений не компенсирует разность между давлением газа в сосуде и атмосферным давлением.

Рассмотрим сказанное подробнее. Давление в точке М (рис. 3) слева складывается из атмосферного давления и гидростатического давления столба жидкости в левой трубке:

,

где ρ – плотность жидкости. В той же точке давление складывается из давления в сосуде и гидростатического давления столба жидкости в правой трубке манометра

P_м = P′ + ρgh_п.

В состоянии равновесия давления в точке М справа и слева раны, т.е.

P₀ + ρgh_л = P' + ρgh_п

Отсюда имеем

P' – P₀ = ρg(h_л– h_п), (34)

Или

P' - P₀ = ρgΔh, (35)

где Δh = h_л – h_п – разность между уровнями жидкости в трубках манометра.

Таким образом, при известных плотности жидкости и ускорении свободного падения g разность давлений определяется разностью уровней жидкости в трубках манометра.

Перепишем формулы (23) и (33) с учётом (35), расставив соответствующие индексы

γ = /36/

ln = ln 37/

Здесь Δh₂, Δh₃ и Δh₄ – разности высот столбов жидкости в трубках манометра, когда газ в баллоне находится в состояниях ''c'', ''e'', ''g'' соответственно.

Из формул (36) и (37) видно, что в данной работе достаточно измерять отношение ∆h₂/∆h₄.При этом неважно, в каких единицах будут выражены разности высот ∆h. Поэтому удобнее всего измерять ∆h в тех единицах, в которых проградуирована шкала манометра, в данном случае в мм. Можно считать, что погрешность измерения ∆h составляет ± 1мм.