Условия устойчивости.

1. - должна быть абсолютно интегрируема выходная величина.

2. Все корни характеристического уравнения должны быть левыми (отрицательными).

Примеры:

по критерию Гурвица

1. Определить устойчивость системы.

, а₀>0

Заменяем Т=а₀, 1+k=а₁. Получаем матрицу Гурвица

Если предполагаем, что а₀>0 и k>0, тогда система будет устойчивой.

Система с характеристическим уравнением 1-го порядка устойчива, если все его коэффициенты положительны.

2.

. Заменяем T₂S²=a₀, TS=a₁, 1+k=a₂. Получим матрицу Гурвица .

Система будет устойчивой, если а₀>0, а₁>0 и k>0.

3. При каких соотношениях система устойчива.

. Заменяем T₁S+1=a₀, T₂S+1=a₁, T₃S+1=a₂, k=a₃.

Получим матрицу Гурвица .

Отсюда соотношения

Система будет устойчивой, если а₀а₃<а₁а₂, k<k_гр=(1/Т₁+1/Т₂+1/Т₃)(Т₁+Т₂+Т₃)-1.

Для системы 3-го порядка должны выполняться соотношения между коэффициентами. Если k>k_гр, то система становится неустойчивой. При Т₁=Т₂=Т₃k_гр принимается минимально возможное значение =Δ.

Почему берем точку (-1; j0)?

Передаточная функция замкнутой системы . 1+φ_рс(S)=0, тогда φ_рс(S)=-1.

Примеры:

по критерию Найквиста.

1. Дана система

φ_р(S)=1, φ_р(jω)=1.

Годограф

Система устойчива, т.к. не проходит через точку (-1; j0).

То же самое решим по критерию Михайлова.

Передаточная функция системы будет φ(S)=1/(1+1), G(S)=2, a₀=2.

2. Дана система

φ(S)=e^τs

Годограф

Система неустойчива т.к. проходит через точку (-1; j0).

3. Дана система

φ(S)=1/S

Годограф

Система устойчива, т.к. коэффициенты положительны и уравнение 1-го порядка.

Запас устойчивости.

Совокупность значений параметров (коэффициентов) системы, при которых система устойчива, называется областью устойчивости.

Совокупность значений параметров (коэффициентов) системы при которых система не устойчива, называется областью не устойчивости.

Совокупность значений параметров системы, при которых происходит переход в области устойчивости в область не устойчивости и наоборот называется границей устойчивости.

Для суждения о степени близости системы к границе области устойчивости пользуются понятиями запаса устойчивости (запас устойчивости по амплитуде и фазе).

Запасом устойчивости по фазе устойчивости замкнутой системы называется увеличение запаздывания по фазе на частоте среза при котором АФХ разомкнутой системы доходит до границы области устойчивости.

Частота среза ω₀ – это такая частота, при которой АФХ разомкнутой системы входит внутрь круга единичного радиуса и в дальнейшем из него не выходит.

Запасом устойчивости по амплитуде называется относительное увеличение коэффициента усиления разомкнутой системы, при котором устойчивая замкнутая система доходит до границе области устойчивости.

Пример:

Определить запас устойчивости

Тема: Критерии качества систем автоматического регулирования.

Различают 2 основных класса критериев качества, в зависимости от того, являются ли они универсальными или применимы только при определенном виде входных воздействий.

Универсальные:

1. критерий устойчивости.

2. критерий апериодической устойчивости.

3. критерий, именуемый показателем управляемости.

4. критерий оптимального модуля.

Критерии при действии типовых (ступенчатых) воздействий.

1. параметры реакции на ступеньку (переходные характеристики).

2. интегральные показатели.

Параметры реакции на ступеньку.

Для того чтобы сравнивать САР между собой, принято рассматривать их переходные характеристики.

Основные показатели:

Статические

Астатические

1. максимальное динамическое отклонение y₁. На основе y₁ определяется перерегулирование:

2. динамический коэффициент управления R_d характеризует управляющие способности регулятора в совокупности с данным объектом регулирования:

3. показатель колебательности d – характеризует склонность системы к колебаниям:

4. время регулирования (переходного процесса) – это интервал времени от момента нанесения ступенчатого воздействия до того момента, когда регулируемая величина y начнет отличаться от заданного значения не больше, чем на фиксированную величину Δ (t_r).

5. статическая ошибка (остаточное отклонение) – в некоторых системах наблюдается ошибка, которая не исчезает на протяжении всего времени ε, если нет интегральной составляющей в законе регулирования, то она появляется:

Интегральные показатели.

1. интеграл от ошибки - площадь по кривой процесса.

2. интеграл от квадрата ошибки

3. интеграл от модуля ошибки