лекции, учебные пособия / конспект лекций / Lekcii / Лекция 11 (Пустовой Д

При возрастании функции полезности лицо принимающее решение (ЛПР) тогда и только тогда не склонно к риску, когда детерминированный эквивалент в лотерее меньше, чем ожидаемый выигрыш в ней.

- выигрыш (матожидание)

- полезность выигрыша

- полезность детерминированного эквивалента

• матожидание

Данная вогнутая функция показывает, что ЛПР не склонно к риску, т.к. <.

Если функция выпукла, то ЛПР расположен к риску.

Надбавка за риск: НР=(-), если НР>1, то ЛПР не склонно к риску.

Физический смысл.

НР – это сумма в единицах «Х», которую ЛПР готово уступить из среднего выигрыша за то, чтобы избежать риска, связанного с участим в лотерее.

Если ЛПР не склонно к риску, то каждый потерянный им рубль более полезен, чем выигранный.

Могут быть экзотические случаи функции полезности:

Принятие решений в условиях неопределённости

Рассмотрим принятие решений в условиях неопределённости природы.

Пример: Задача с яичницей.

Есть 6 яиц. Необходимо сделать яичницу. 5 яиц уже разбили и поместили в сковороду. Осталось ещё одно. Мы не знаем, вдруг оно тухлое (вариант F₁) или нет (вариант F₂). Есть три варианта действий:

1. разбить это яйцо, вылив в сковороду (Е₁);

2. разбить его, вылив на тарелку, чтобы проверить на тухлость(Е₂);

3. сразу выкинуть его и не мучиться(Е₃).

Составим матрицу возможных вариантов :

	F1	F2
E1	-5	6
E2	4,5	5,5
E3	5	5

Рассмотрим двухмерный случай с двумя состояниями природы F₁ и F₂:

РТ – рассматриваемая точка

А – антиутопическая точка (min(е_i1);min(e_i2))

B – утопическая точка (max(е_i1);max(e_i2))

Эти точки разбивают плоскость на четыре конуса (I-IV).

I – конус предпочтения

III – антиконус

II и IV – конусы неопределенности

Критерий: max(K(e_i1,…, e_in),

Критерии принятия решений в условиях неопределенности

1. Минимаксный критерий (критерий Вальда).

Это критерий крайнего пессимизма, перестраховки минимального риска.

Пример:

Е₃ – лучшее решение, т.к. худший его вариант является лучшим относительно других.

2. Критерий Байеса-Лапласа (BL-критерий)

q_i – вероятность события F_i

3. Критерий Сэвиджа

Пример:

В данном примере критерий Сэвиджа может привести к абсурдному результату, если сравнивать решения попарно: E1>E2, E2>E3, E3>E1.

4. Расширенный минимаксный критерий

q_j – вероятность события F_j

p_i – вероятность решения E_i

Для каждого события имеем вероятность его возникновения.В результате оптимизации по данному критерию получаем набор вероятностей {P_i} для каждого из решений {E_i}

5. Критерий Гурвица

При с=1 имеем критерий пессимизма, при с=0 - оптимизма

Пример:

при любом с получим, что Е1 лучше, чем Е2

Оба примера доказывают неприменимость критерия в данных случаях.

6. Критерий Ходжа-Лемана

при γ=1 имеем BL-критерий;

при γ=0 – минимаксный критерий

7. Критерий Гермейера

8. Критерий произведений

Если e_ij<0, то необходимо к каждому е_ij прибавить число a>min(е_ij).