лекции, учебные пособия / конспект лекций / Lekcii / Лекция 11 (Соснин В

При возрастании функции полезности лицо, принимающее решение, тогда и только тогда не склонно к риску, когда детерминированный эквивалент потери меньше ожидаемого выигрыша в этой лотерее:

При невыполнении данного условия лицо считается склонным к риску.

Графическая интерпретация этого закона:

0.5(U(x₂)+U(x₁)) – это математическое ожидание полезности лотереи.

- средний ожидаемый выигрыш лотереи

Очевидно, что в первом случае , а во втором . Таким образом знак зависит от выпуклости или вогнутости соответствующего графика функции полезности.

НР = – это надбавка за риск. При НР>0 лицо, принимающее решение, склонно к риску, иначе – не склонно. Физический смысл НР – это сумма в единицах x(икс), которую лицо, принимающее решение, согласно уступить из среднего выигрыша за то, чтобы избежать риска.

Видим, что в первом случае U(x+∆) – U(x) < U(x) – U(x–∆), а во втором – наоборот: U(x+∆) – U(x) > U(x) – U(x–∆).

Если точку же (0,0) соединить с точкой (x+∆,U(x+∆)) по прямой, то полученный график даст нечто среднее между склонностью к риску и несклонностью к риску.

В зависимости от характера изгиба графики функций полезности бывают:

Принятие решений в условиях неопределенности

1. Принятие решений в условиях неопределенности природы

2. Принятие решений в условиях неопределенности противника

Принятие решений в условиях неопределенности природы

Пример. У нас есть шесть яиц, 5 из которых мы уже разбили и вылили на сковороду. Существует три варианта, как поступать с одним оставшимся:

1. Е1 – разбить и вылить его туда же не глядя; при этом возможно, что оно тухлое и мы испортим все остальные;

2. Е2 – предварительно вылить яйцо в отдельную тару, убедиться в его качестве, а затем либо выбросить его, либо влить к остальным; при этом мы часть яйца размажем по дополнительной таре и потратим время на очистку тары;

3. Е3 – выбросить шестое яйцо в мусор не глядя.

В соответствии с этими данными составляем матрицу. Введем при этом такие обозначения: F1 – яйцо свежее, F2 – яйцо тухлое.

	F1	F2
E1	6	-5
E2	5.5	4.5
E3	5	5

Эта матрица обозначается , где m – число состояний природы, n – количество способов решения

Если число состояний природы равно двум (F1 и F2), то данная матрица геометрически интерпретируется как геометрическое место точек на плоскости:

С – утопическая точка, имеющая координаты (max(е_i1),max(e_i2))

В – рассматриваемая точка

А – антиутопическая точка, имеющая координаты (min(е_i1),min(e_i2))

Эти точки разбивают плоскость на четыре конуса (I-IV).

I – конус предпочтения

III – антиконус

II и IV – конусы неопределенности

Критерий: max(K(e_i1,…, e_in)),

При (U+V)/2=K имеем геометрическую интерпретацию в виде прямой. Если график имеет вид, как у штрихпунктирной линии, то это позиция пессимизма. Если график имеет вид, как у пунктирной линии, то это позиция оптимизма.

Критерии принятия решений в условиях неопределенности

1. Минимаксный критерий (критерий Вальда).

Это критерий крайнего пессимизма, перестраховки.

Пример:

2. Критерий Байеса-Лапласа (BL-критерий)

3. Критерий Сэвиджа

Пример:

Если решать этот пример, сравнивая попарно все решения, то данный критерий приводит к абсурдному результату: E1>E2, E2>E3, E3>E1. Таким образом использовать критерий нужно с осторожностью.

4. Расширенный минимаксный критерий

P_i – вероятность решения E_i. Мы для каждого события делаем предположения о вероятности его возникновения. Решение получается не однозначным, а как набор решений, с соответствующими им вероятностями. Таким образом результат оптимизации по данному критерию – это набор вероятностей {P_i} для каждого из решений {E_i}

5. Критерий Гурвица

При с=1 имеем критерий пессимизма, при с=0 - оптимизма

Пример: данный критерий может быть несостоятельным

при любом с получим, что Е1 лучше, чем Е2

Оба примера доказывают неприменимость критерия при данных условиях.

6. Критерий Ходжа-Лемана

При γ=1 имеем BL-критерий, при γ=0 – минимаксный критерий

7. Критерий Гермейера

8. Критерий произведений

Если последнее условие не выполняется, нужно к каждому е_ij прибавить число, превышающее минимальное из е_ij.