лекции, учебные пособия / конспект лекций / Lekcii / Лекция 10 (Муллачанов Д.М

Функция полезности

Пусть имеется множество исходов, проранжированных по предпочтительности x₁<x₂<…<x_n.

Пусть имеется множество действий которые приводят к этому исходу: a^`,a``…

p_i – природные вероятности

Вводим субъективизм:

ЛПР (лицо, принимающее решение) все равно, в какой участвовать лотерее:

<x_n,x_i,x₁>

Выбираем вероятности принятия решения: Π_n=1, Π₁=0

Π₁<Π₂<…<Π_n

Некоторому ряду исходов сопоставляем некоторый ряд вероятностей принятия решений, который для каждого ЛПР свое (Π_i – субъективные вероятности). Мы можем определить для каждого а математическое ожидание из вероятностей Π_i.

Для , для

Функция полезности может быть монотонной.

Если x₁>x₂, то U(x₁)>U(x₂) – полезность.

x – это сумма денег, которые мы выигрываем

U(x) – это полезность этих денег (это не одно и тоже!!!)

Если t₁>t₂, то U(t₂)>U(t₁), t – время.

Определим математическое ожидание выигрыша:

, – среднее значение величины, – математическое ожидание случайной величины.

Определим ожидаемую полезность лотереи:

Определение: Детерминированным эквивалентом лотереи L, называется величина , такая что ЛПР безразличен в выборе между участием в лотереи L и получением наверника.

Полезность U() такая же, как и полезность лотереи. Это субъективно и зависит от ЛПР , .

Если есть некоторая функция полезности:

– детерминированный эквивалент потери

Предположим, что вероятность 0.5

Если функция не монотонна:

Таким образом получили несколько детерминированных эквивалентов.

Физический смысл детерминированного эквивалента: участвовать в лотереи или получить эту величину сразу.

Определение: Страховой суммой лотереи L называется взятая с обратным знаком величина детерминированного эквивалента.

Несклонность к риску

Определение: ЛПР несклонен к риску, если он предпочитает получить наверняка ожидаемый выигрыш, чем участвовать в лотереи.

ЛПР несклонен к риску тогда и только тогда, когда его функция полезности вогнута.

- это и есть определение вогнутой функции.

Если ЛПД склонно к риску, то знак > изменяется на <, т.е. его функция полезности выпукла.