Все лекции по аналитический геометрии

= −

b2

= −

b

→ 0

, x → +∞ .

b

x2

−1 +

b

x

x2

−1 +

1

x

a2

a2

a

a

( I ) :

y = ±

b

x

y

a

5

.

%.

$

b

2

2

2

2

x

x

−

y

= −1 ~

y

−

x

= 1

a2

b2

a2

−b

b2

% x y .

y = ±

b

x -

a

. Ax2 + By2

= C , A B

( A B < 0) ( C ≠ 0 ) (

C = 0 ).

&.

1) C = 0 → Ax2 + By2 = 0 ~ ,

~

y2

= −

A

x2 , k 2

= −

A

> 0

~

B

B

~

y = ±kx - .

2) C ≠ 0 → Ax2 + By2 = C ~

x2

+

y2

= 1,

C A

C B

C C .

A B

2

C

> 0

,

C

= a2 ,

C

< 0 ,

C

= −b2 , . .

x2

−

y2

= 1 - .

a2

b2

A

A

B

B

2

C

< 0

,

C

= −a2 ,

C

= b2 , −

x2

+

y2

= 1

~

x2

−

y2

= −1 - .

a2

b2

a2

b2

A

A

B

§14.

) .

" F - ) , d – ) ( F d ). 4

, F d .

y

:

F –

,

d

d – .

M ( x, y)

p

, 0) - ), r > 0 ;

M 0

" F (

2

d:

x = −

p

- .

2

− p

x

0 , dist(F , d ) = p > 0 .

F (

p

, 0)

p

2

2

.

" M (x, y) ,

, x ≥ 0 , :

31

r =

MF

=

(x −

p

)2 + y2

,

r =

MM

0

= dist(M , d ) ≤ x +

r

.

1

2

2

2

:

(x −

r

)2 + y2 = (x +

r

)2

r = r ~

(x −

r

2

+ y

2

= x +

r

2

2

x +

r

≥ 0 ,

)

1

2

2

2

x +

r 2

2

≥ 0

2

r

2

r

3

x2

− x r +

+ y2 = x2 + rx +

4

2

r

x +

≥ 0

2

2

= 2rx

(1)

r

y

/ (1)

x +

≥ 0 ,

r

≥ 0

2

x+

2

~y2 = 2rx

y

(. + r1 = r2 )

M (x, y)

F (

r

, 0) d :

x = −

r

2

2

1

1

x , y

2

= 2 px .

2 p

−1

«9 »

: y = ax2 ~ x2 =

y

~ x2 = 2ry , 2r =

1

M (x, − y)

a

a

% x y .

y

":

$ y = x2 , :

1 4

		d x * F (0,	1	) , :	y = −	1	.
−1 4
		4			4

§15. ! " #

$ :

Ax2 + 2Bxy + Cy2 + 2Dx + 2Ey + F = 0 , A2 + B2 + C 2 ≠ 0

1- ! – , (x, y)

,

, , , , ,

! .

y	y	/ " (

(x0 , y0 ) - .

y0
		x	x	= x − x0		x = x0	+ x
					~			" (x0 , y0 ) .
				= y − y0
	x		y			y = y0	+ y

x0

32

y

y '

f

x '

e2 ' α	e1 '
	α

2.	"
c1 ' = (1, 0) ' = (cosα , sin α ) ,
	' = (0,1) ' = (cos(π + α ), sin(	π + α )) = (− sin α , cosα ) ,
c
2	2	2

xf = xe1 '+ ye2 ' = x ' e1 '+ y ' e2 ' ,

x	cosα		− sin α
	= x '		+ y '		=
y	sin α		cosα
x 'cosα − y 'sin α
=			.
x 'sin α + y 'cosα

.

	x = x 'cosα − y 'sin α				- α .
		= x 'sin α + y 'cosα
	y
' :
x ' = x cosα + y sin α					- −α
		= −x sin α + y cosα
y '
# *
	Ax2 + 2Bxy + Cy2 + 2Dx + 2Ey + F = 0					, A2 + B2 + C 2	≠ 0 .	(15.1)
:
A,B,C - 1 - ,							,
D,E		- 2 - , ( ),
F		- 3 - # , ( ),
– .
4 , .
%: 4 ?
:
# δ =			A B	= AC 2 − B2 .
			B C
", δ								:

a)( , )).

b)( , ).

( , δ ,

, . 4 ) ! :

δ> 0 →

δ< 0 →

δ= 0 →

$ ( (

I.δ > 0 .

	1)	x2	+	y2	= 1	- ,
		a2		b2

2)x2 + y2 = 0 - (0, 0) , a2 b2

	3)	x2	+	y2	= −1	- ( ).
		a2		b2

33

II. δ < 0 .

2

2

x

−

y

= 1

a

2

2

1)

b

- ,

x2

y2

−

= −1

a2

b2

2)

x2

−

y2

= 0

- y = ±

b

x .

a2

b2

a

III.δ = 0 .

1)y2 = 2rx - ,

2)	y2	= q2	-	,	y = ±q ,
3)	y2	= 0	- 1 ( - ),
4)	y2	= −q2 -			.

" 90o x y .
%. I-(3) III-(4) ( ) ,
.
( .
' . (15.1)

(x, y) ,

.

§16.

(15.1).

/. " xy (β = 0) , - .

•0 , (15.1) (A), )) !

- xy = 0 ( 2B = 0 )

•0 , (15.1) (B),

- ( x2 ,

x, y2 , y, x, x0 , )) !

, y, y0 , )) ! ).

		2	+ β y	2	+ γ = 0
	α x
	α x2		+ ε y = 0
	β y2 + δ x =					0	I II III
	( A) + (!) α x2		+ν = 0
	β y2 +ν = 0
	α x2 + β y2 = 0						.
	x2	= 0 y2 = 0

", (15.1)

(5), – (0). ' .

" B ≠ 0 , :

(5). " (15.1):

A(x 'cosϕ − y 'sin ϕ)2 + 2B(x 'cosϕ − y 'sin ϕ)(x 'sin ϕ + y 'cosϕ) +

+C(x 'sin ϕ + y 'cosϕ)2 + 2D(x 'cosϕ − y 'sin ϕ) + 2E(x 'sin ϕ + y 'cosϕ) + F = 0

34

- - )) ! B ' x ' y ' :

−2 A cosϕ sin ϕ + 2B cos2 ϕ − 2B sin2 ϕ + 2C sin ϕ cosϕ = 0 B sin2 ϕ − (C − A) sin ϕ cosϕ − B cos2 ϕ = 0

Btg 2ϕ − (C − A)tgϕ − B = 0 - tgϕ , - :

(tgϕ) =

C − A ± (C − A)2 + 4B2

1,2

2B

2 ϕ , (15.1) -

(A), , 2B ' = 0 .

(0). " (5), :

α x2 + β y2 + δ x + ε y + γ = 0

(16.1)

1) " α ≠ 0 ,

(16.1)

~

α (x2 +

2δ

x +

δ 2

) + β y2

+ ε y + γ −

δ 2

~

α (x +

δ

)2 + β y2

+ ε y

+ γ

= 0 ~

2α

4α

2

4α

2α

~ α x + β y2 + ε y + γ = 0 ,

δ

δ

x

= x +

x = x −

2α

2α

~

- " .

= y

y

y = y

x1

" β = 0 , ε y .

2) " α = 0 , δ ≠ 0 , :

(16.1)

~

β y2 + δ x + γ = 0

~

β y2 + δ (x + γ ) = 0

~

β y2

+ δ x = 0 ,

δ

y

= y

y = y

γ

γ

8

= x +

~

= x

−

-

x

δ

x

δ

.

" x )) !.

5 β = 0 , ε ≠ 0 , y2 )) !.

3) α = 0 δ = 0 , (16.1)

~

β y2 + γ = 0 - .

( .

§17. #

"

.

' :

Ax2	+ By2	+ Cz2 + 2Dxy + 2Exz + 2Fyz + Gx + Hy + Jz +		K = 0
				. ).

, ):
a	x2 + a	22	y2 + a	z2 + 2a	xy + 2a	xz + 2a	23	yz + 2b x + 2b y + 2b z + c = 0 .			(17.1)
11			33	12	13			1	2	3
- . 0 ,						)) ! aij .
% x, y, z - & .

'. 4 ,

(17.1).

+ ,

)) ! - a12 , a13 , a23 .

35

% , - -

. :

α x2 + α		2	y2 + α	3	z2 + β x + β		2	y + β		z + γ = 0 ,	α	k	β	k	= 0 k = 1, 2, 3...	(17.2)
1					1				3
" , βk = 0 , γ = 0 .
(x ', y ', z ') (x, y, z) .
(17.2) ) !. '
.
4 ) !:
1.	2 αk				≠ 0 (>0),
	( ).
2.	2 αk				≠ 0				,
	( , ).
3.	2		αk			= 0 ,
	( , !).

% ( , , . .).

1 ", " .

& (

2 ,

. " 1: .

	x2	+	y2	+	z2	= 1
	a2		b2		c2

z

c

a

x

" 2:

	x2	+	y2	−	z2	= 1
	a2		b2		c2

a, b c – .

" y = h (

h

< b)

:

x2

+

h2

+

z2

= 1 ~

x2

+

z2

= (1 −

h2

) ,

a2

b2

c2

a2

c2

b2

2 a, b, c ≠ 0 ,

b ( . a, b, c ).

y2 ,

.

2 a = b = c , ) : x2 + y2 + z2 = a2 ,

x2

+

y2

+

z2

= 0 - ,

x2

+

y2

+

z2

= −1 - .

a2

b2

c2

a2

b2

c2

'

	" ) z = h :
		x2	+	y2	= (1 +	h2	) , -		h		.
		a2		b2		c2

' – (

, Oz).

36

" 3:

&

z

x2

+

y2

−

z2

= −1

a2

b2

c2

" ) z = h ,

h

> c :

x2

y2

h2

c

2 +

2 =

2 −1

y

a

b

c

−c

" , Oz

, .

x

+ a = b

&.

#

" 4:

4

x2

y2

z2

+

−

= 0 ~

z2

=

x2

+

y2

a2

b2

c2

c2

a2

b2

#

" ) z = h :

x2

y2

h2

+

=

- .

a2

b2

c2

, Oz

.

- " 4

" 2 3.

" 5:

.

z

x2

+

y2

= z

" z = h > 0 .

a2

b2

x" 6:

22

x − y = z a2 b2

, Oz .

y

8

( )

, Oz

, .

z > 0 z < 0 .

37

" 7:

22

x + y = 1 a2 b2

:

. !.

	" a = b ! .
#			x2		y2
				−		= ±1	- !.
			a2		b2

y2 = 2rx - !.

6 ": & "

.

38

$

$(

«+0#10 23»

«#», 1- , 2005/2006 . ' — (. . "

1.5 ) . . 4

. &.

2.( ) . ). * +.

3.* .. . " ) .

4.' ) . .

5.4 . ! .

6.+. ' ! . & . ( 0, .

7.' , ). 4 .

.

8." . , . 4, ,

!, .

9.( .

10.', , . " &" 4, .

11.& . . 4 . 4 , . & . $ .

12.. * . .

13." ! . * . & , !

. 1 .

14.& . % . ' 2-

.

15.' 3- . * .

16..

17." . ' , .

18.5 ( - ).

.

19." ! . & .

20.' - . * . .

21. " . ' . " .

22.1 . ' . *

.

23.", .

24." . , , .

25.1 . ' .

26. . , , . / ),

!.

27.' ). .

28.5 . ", ), !,

( ). ' (x2 + By2 = $, (% > 0.

29.' ). . 5, '

( 2 + By2 = $, (%<0.

30.' ). . 1

) .

31." . . ".

32. ' 2- . &. 4 ) !

. 2- (9 ). *

.

39

33.& 2- . " :

, « - » , tgϕ .

34.& 2- . :

, « - » .

35.' 2- .

. . ,

.

36. . . 8 .

37. " !.

40