Все лекции по аналитический геометрии

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«#», 1- , 2005/2006 . ' — (. . "

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1)

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M

1

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z

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1 + cos(π / 7) + i sin(π / 7)

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7

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(i34 + i35 )51. "

) .

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a)1 + eix + e2ix + ... + enix ;

b)1+ cos x + cos 2x + ... + cos nx;

c)sin x + sin 3x + ... + sin (2n −1)x.

% .

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1 P(x) = 3x3 −10x2 + x +14. (

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7)	4 )) !.	$
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	)) !, a = eπ i / 6	b = eπ i / 2			,
	3 a - , b - .
8)	' ! . ABCD A1B1C1D1 ,
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	ABC . &, MA + MB + MC = 0 . ( : M
	- 2 : 1, - .)
10)	4 . ' ! . ABCD
	- A(a1 , a2 , a3 ), B(b1 , b2 , b3 ), C(c1 , c2 , c3 ) . 1 - D .
	ABCDA ' B 'C ' D ' - A(a1 , a2 , a3 ), B(b1 , b2 , b3 ), C(c1 , c2 , c3 ) , B '(b1 ', b2 ', b3 ') . 1
	- D .
11)	4 . " a = OA, b = OB −
	. 1 c = α a + β b , α + β = 1 .
12)	ABC BE . BE BA = a
	BC = c .
13)	' . . ABC
	BH . BH AB = b AC = c .

41

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a

2

a

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2

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+ b

+

− b

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15). a, b, c a + b + c = 0 . &, [a, b ] = [b, c ] = [c, a].

16)' - . &, (a, b, c ) ≤ a b c . "

? ' 7 .

17)) . ", r

e1 , e2 , e3

λ1 =	(r , e , e )		λ2 =	(r , e , e )	, λ3 =	(r , e , e )
	2 3	,		3 1		1 2	.
	(e1 , e2 , e3 )			(e1 , e2 , e3 )		(e1 , e2 , e3 )

4 ), e1 , e2 , e3 ?

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, :

1 1 1

x y z = ( y − x)(z − x)(z − y). x2 y2 z2

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a b c

ca b = (a + b + c)(a2 + b2 + c2 − ab − ac − bc).

b c a

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3 M1 (a1 , b1 , c1 ) M 2 (a2 , b2 , c2 ) .

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a = (a , a , a ), b = (b , b , b )

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(x , y , z

0

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2

3

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:

x − x0

y − y0

z − z0

= 0 .

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a2

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b1

b2

b3

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22)( . « ». 1 73

, Ax + By + Cz + D = 0 , ABCD ≠ 0 .

23)* . 1

Ax + By + Cz + D = 0 Ax + By + Cz + D1 = 0 .

24)" . 1 , :

a)	x = 1 + t 2 , y = 1+ t 2 , z = 1+ t 2 , t ;
b)	x = 1+ sin t,	y = 1 + sin t, z = 1 + sin t, t ;
c)	x = 1+ sin t,	y = 1+ 2 sin t, z = 1+ 3sin t, t ;

25) 4 . " - )) !

x − x0 = y − y0 = z − z0 a b c

" Ax + By + Cz + D = 0 ? " Ax + By + Cz + D = 0 ?

26) ' . " - )) !

42

A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0,A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0.

a)" Ox ?

b)Ox ?

27)$ . % ,

:

3x − 5 y + z + 5 = 0,

x − 2 y − z − 2 = 0.

1 x + y + z +1 = 0 .

28)	& a M 0 M1 ,
	. ", ):
	d =			[a, M 0 M1 ]					.
					a
29)	1 :

l1 : x = 1+ t,				y = 2 − t, z = t
l :	x	=	y − 2	=	z +1		l		:
								2
1	1		−1		−2

l2 : x = −t, y = 1+ t, z = −1− t (t );

x +1 = y = z − 3 . 0 2 1

3 ! ! ?

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- , , - . ( : 3 a, b, c ;

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31)$ . 1 ! P(x0 , y0 )

Ax + By + C = 0 .

32) 4 . )) !,

a2 x2 + b2 y2 + 2cx + 2dy + e = 0 . 1 ,

.

33) 4 . 4 «- » y = k / x

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( , k > 0 ).

34) 4 . 1 ) «- » y = ax2 .

" , x2 F (0,1/ 4)

y = −1/ 4 .

35)' . & . '

a2 x2 + 2abxy + b2 y2 − c2 = 0. 3 .

36) 1 ) a2 x2 − b2 y2 + a2b2 = 0

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37) ", ) x + y = a ) . 1

. 1 3 ) ( : . &, ; 1051.) 38) " )) !

x2 + y2 + 2ax + 2by + c = 0

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b)4 Ox Oy ?

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a)2x2 + 3 y2 + 4z2 = 5 ;

b)x2 + y2 + z2 = 2x + 4 y + 6z;

c)x2 + y2 − z2 = 2z;

43

d)x2 + y2 − z2 = 2z +1;

e)x2 + y2 = 2z +1;

f)xy = 2z .

40)8. ", M 0 (1, 0, 0) x2 + y2 − z2 = 1

, ! . % .

41)". ", M 0 (1,1,1) z = xy ,

! . % .

42)", z = xy , !

.

44