Все для зачета по математическому анализу
.pdfПроизводная степенной функции.
Формула производной степенной функции имеет вид , где показатель степени p – любое действительное число.
Следует рассмотреть два случая: при положительных x и отрицательных x.
Сначала будем полагать . В этом случае . Выполним логарифмирование равенства по основанию e и применим свойство логарифма:
Пришли к неявно заданной функции. Находим ее производную:
Пример.
Найти производные функций .
Решение.
Первую и третью функцию приведем к табличному виду , используя свойства степени, и применим формулу производной степенной функции:
Производная показательной функции.
Вывод формулы производной приведем на основе определения:
Пришли к неопределенности. Для ее раскрытия введем новую переменную , причем
при . Тогда . В последнем переходе мы использовали формулу перехода к новому основанию логарифма.
Выполним подстановку в исходный предел:
Если вспомнить второй замечательный предел, то придем к формуле производной показательной функции:
Пример.
Найти производные показательных функций .
Решение.
Воспользуемся доказанной выше формулой производной показательной функции из таблицы и свойствами логарифма.