Все для зачета по математическому анализу-1

Пример

Пришли к неопределенности. Смотрим в таблицу неопределенностей для выбора метода решения и пробуем упростить выражение. Так как и числитель и знаменатель обращаются в ноль при х=1, то если разложить на множители эти выражения, можно будет сократить (х-1) и неопределенность исчезнет. Разложим числитель на множители:

Разложим знаменатель на множители:

Наш предел примет вид:

После преобразования неопределенность раскрылась.

Пример.

Рассмотрим пределы на бесконечности от степенных выражений. Если показатели степенного выражения положительны, то предел на бесконечности бесконечен. Причем основное значение имеет наибольшая степень, остальные можно отбрасывать.

Пример.

Если выражение под знаком предела представляет собой дробь, причем и числитель и знаменатель есть степенные выражения (m – степень числителя, а n – степень знаменателя), то при возникает

неопределенность вида бесконечность на бесконечность , в этом случае неопределенность

раскрывается делением и числитель и знаменатель на

ВЫВОД.

Таким образом, возможны три варианта для предела отношения степенных выражений:

•Если m равно n, то предел равен отношению коэффициентов при старших степенях;

•Если m больше n, то предел равен бесконечности;

•Если m меньше n, то предел равен 0.

Первый замечательныйпредел

Следствия первого замечательного предела:

1.

2.

Пример.

Вычислить предел

Второй замечательный предел имеет вид:

или в другой записи

В случае второго замечательного предела имеем дело с неопределенностью вида единица в степени бесконечность .